Intersection entre la frontière et l’intérieur d’un ensemble

L’intersection entre la frontière $ \partial A $ et l’intérieur $ \text{Int}(A) $ d’un ensemble est toujours vide : $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Ce résultat met en lumière une relation topologique fondamentale entre la frontière et l’intérieur d’un ensemble.

Exemple concret
Démonstration

Exemple concret

Considérons l’espace topologique $\mathbb{R}$, muni de la topologie usuelle, où les ouverts sont les intervalles ouverts.

Soit $A = (0, 1)$, c’est-à-dire l’intervalle ouvert compris entre 0 et 1.

L’intérieur de $A$ est formé des points admettant un voisinage entièrement contenu dans $A$. Dans ce cas, tous les points de l’intervalle appartiennent à son intérieur :

$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$

L’adhérence de $A$, notée $ \text{Cl}(A) $, inclut l’ensemble $A$ ainsi que ses points d’accumulation - ici les bornes 0 et 1 :

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Le complémentaire de $A$ dans $\mathbb{R}$ est donné par :

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Ce complémentaire étant fermé, son adhérence coïncide avec lui-même :

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

La frontière de $A$ est alors définie comme l’intersection des deux adhérences :

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

L’intersection entre la frontière et l’intérieur de $A$ s’écrit donc :

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

On observe ainsi qu’aucun point n’appartient simultanément à la frontière de $A$ ($\partial A = \{0, 1\}$) et à son intérieur ($\text{Int}(A) = (0, 1)$).

Cet exemple confirme que l’intersection entre la frontière d’un ensemble et son intérieur est toujours vide :

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Démonstration

Cette propriété peut être démontrée rigoureusement à partir des définitions fondamentales de la topologie générale.

Par définition, la frontière d’un ensemble $A$ est donnée par :

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

Un point appartient à la frontière de $A$ si tout voisinage de ce point rencontre à la fois $A$ et son complémentaire. Ces points se trouvent donc "à la limite" entre l’intérieur et l’extérieur de l’ensemble.

En revanche, l’intérieur $ \text{Int}(A) $ est constitué des points admettant un voisinage entièrement contenu dans $A$, c’est-à-dire des points "strictement internes" à l’ensemble.

Supposons que $x \in \partial A$. Alors :

$x \in \text{Cl}(A)$, donc tout voisinage de $x$ rencontre $A$ ;
$x \in \text{Cl}(X - A)$, donc tout voisinage de $x$ rencontre également $X - A$.

Il en découle qu’aucun voisinage de $x$ ne peut être entièrement contenu dans $A$, ce qui exclut la possibilité que $x$ appartienne à l’intérieur :

$$ x \notin \text{Int}(A) $$

Inversement, si $y \in \text{Int}(A)$, il existe un voisinage de $y$ entièrement contenu dans $A$. Ce voisinage ne peut donc pas rencontrer le complémentaire $X - A$, ce qui implique :

$$ y \notin \text{Cl}(X - A) \Rightarrow y \notin \partial A $$

On en conclut que les ensembles $\partial A$ et $\text{Int}(A)$ sont disjoints :

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Q.E.D.