La frontière d’un ensemble est toujours un fermé
La frontière d’un ensemble est toujours un ensemble fermé, car elle est définie comme l’intersection de l’adhérence de \(A\) avec celle de son complémentaire : $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Dans un espace topologique \(X\), la frontière d’un ensemble \(A\), notée \(\partial A\), correspond à l’intersection de l’adhérence de \(A\) avec celle de \(X - A\) : \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)\).
Or, l’intersection de deux fermés étant elle-même un fermé, il en résulte que \(\partial A\) est nécessairement fermé.
Exemple concret
Considérons l’espace topologique \(\mathbb{R}\), muni de la topologie usuelle, dans laquelle les ouverts sont les intervalles ouverts.
Soit \(A = (0, 1)\), c’est-à-dire l’intervalle ouvert entre 0 et 1.
L’adhérence de \(A\), notée \(Cl(A)\), est l’intervalle fermé \([0, 1]\), qui contient tous les points de \(A\) ainsi que ses points d’accumulation (0 et 1).
Le complémentaire de \(A\) dans \(\mathbb{R}\) est donné par :
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Ce complémentaire étant déjà fermé, son adhérence coïncide avec lui-même :
$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
La frontière de \(A\) est alors l’intersection de ces deux adhérences :
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) = \{0, 1\} $$
Dans ce cas, la frontière de \(A\) est constituée des points \(\{0, 1\}\), qui forment un fermé dans \(\mathbb{R}\).
Démonstration
L’énoncé repose sur des propriétés fondamentales de la topologie générale.
Dans tout espace topologique \(X\), l’adhérence d’un ensemble \(A\), notée \(\overline{A}\) ou \(Cl(A)\), est par définition un fermé : c’est le plus petit fermé contenant \(A\).
Le complémentaire d’un ensemble \(A\), noté \(X - A\), est ouvert si \(A\) est fermé, et inversement.
La frontière d’un ensemble \(A\), notée \(\partial A\), est définie par :
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Une propriété classique des espaces topologiques veut que l’intersection finie de fermés soit encore un fermé.
Il s’ensuit que, dans tout espace topologique, \(\partial A\) est nécessairement fermé :
- \(Cl(A)\) est fermé par définition.
- \(Cl(X - A)\) l’est également, puisqu’il s’agit d’une adhérence.
- Leur intersection, \(Cl(A) \cap Cl(X - A)\), est donc un fermé.
On en déduit que la frontière de tout ensemble \(A\), définie comme intersection de deux adhérences, est toujours un fermé :
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Ce qui conclut la démonstration.
Et le raisonnement se poursuit ainsi.
