La frontière est incluse dans A si, et seulement si, A est fermé
La frontière \( \partial A \) d’un ensemble \( A \) est incluse dans \( A \) si, et seulement si, \( A \) est fermé : \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ est fermé} \]
Exemple concret
Exemple 1
Soit \( A \) le disque fermé de rayon 1 centré à l’origine de l’espace euclidien \(\mathbb{R}^2\).
$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 $$
Dans ce cas, la frontière de \( A \) est le cercle de rayon 1 :
$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$
Comme \( A \) contient tous les points de sa frontière, on a :
$$ \partial A \subseteq A $$
On en conclut que \( A \) est un ensemble fermé.
Exemple 2
Soit \( B \) le disque ouvert de rayon 1, également centré à l’origine :
$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 $$
La frontière de \( B \) reste le cercle de rayon 1 :
$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$
Mais puisque \( B \) ne contient pas les points de sa frontière, on a :
$$ \partial B \nsubseteq B $$
Ce qui montre que \( B \) n’est pas fermé.
Ces deux exemples mettent clairement en évidence qu’un ensemble fermé contient toujours sa frontière, tandis qu’un ensemble ouvert ne la contient jamais.
Démonstration
La preuve s’articule en deux implications réciproques :
1] Si la frontière de \( A \) est incluse dans \( A \), alors \( A \) est fermé
Supposons que \( \partial A \subseteq A \), c’est-à-dire que tous les points frontière de \( A \) appartiennent aussi à \( A \).
On veut en déduire que \( A \) est un fermé.
Rappelons que la frontière de \( A \) se définit comme \( \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} \), où \( \overline{A} \) désigne l’adhérence de \( A \), et \( \overline{A^c} \) celle de son complémentaire.
Si tous les points à la fois limites pour \( A \) et pour \( A^c \) sont contenus dans \( A \), alors \( A \) contient nécessairement tous ses points d’accumulation.
Or, par définition, un ensemble est fermé s’il contient l’ensemble de ses points d’adhérence.
Il s’ensuit donc que \( A \) est fermé.
2] Si \( A \) est fermé, alors \( \partial A \subseteq A \)
Supposons à présent que \( A \) soit fermé. Montrons que sa frontière est incluse dans \( A \).
Si \( A \) est fermé, alors \( A = \text{Cl}(A) \).
La frontière de \( A \) s’écrit :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
En remplaçant \( \text{Cl}(A) \) par \( A \), on obtient :
$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$
Autrement dit, la frontière est constituée des points de \( A \) qui sont également limites pour le complémentaire. Ces points appartiennent donc bien à \( A \).
On a donc bien \( \partial A \subseteq A \).
3] Conclusion
Nous avons établi que \( \partial A \subseteq A \) si, et seulement si, \( A \) est fermé.
Et ainsi de suite.
