La propriété monotone de l’opérateur d’adhérence
La propriété monotone de l’adhérence énonce que si \( A \subseteq B \), alors l’adhérence de \( A \) est nécessairement incluse dans l’adhérence de \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Ce principe est si intuitif qu’il passe souvent pour une évidence, mais comprendre pourquoi il fonctionne renforce réellement l’intuition topologique.
Pour se faire une image simple, imaginez une petite boîte placée dans une plus grande. Une fois la grande boîte fermée, la petite l’est forcément aussi. L’adhérence fonctionne exactement sur cette logique d’inclusion.
Exemple illustratif
Considérons un cadre familier: la droite réelle \( \mathbb{R} \) avec sa topologie usuelle.
Ici, les ensembles ouverts sont les intervalles ouverts.
On part des deux ensembles suivants:
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
L’inclusion est immédiate, car chaque point de \( A \) appartient aussi à \( B \):
\[ A \subseteq B \]
Adhérence de \( A \)
L’ensemble \( A \) est l’intervalle ouvert \( (0, 1) \). Pour obtenir son adhérence, on ajoute les points qui peuvent être approchés arbitrairement près par des points de \( A \).
Dans ce cas, les points \( 0 \) et \( 1 \) jouent ce rôle, car tout voisinage de ces deux valeurs coupe l’intervalle \( (0, 1) \).
On obtient donc:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
Adhérence de \( B \)
L’ensemble \( B \) est l’intervalle fermé \([0, 2]\). Il contient déjà tous ses points d’adhérence.
Comme il est fermé, son adhérence ne change pas:
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
Conclusion
En mettant les deux résultats côte à côte, on voit immédiatement que:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Cet exemple montre clairement comment l’adhérence respecte l’inclusion des ensembles.
Démonstration formelle
Partons de l’hypothèse de départ:
\[ A \subseteq B \]
Par définition, un point \( x \) appartient à \( \text{Cl}(A) \) si tout voisinage de \( x \) contient au moins un point de \( A \).
Or, si tout voisinage qui rencontre \( A \) rencontre aussi \( B \), alors \( x \) doit appartenir à \( \text{Cl}(B) \).
On obtient ainsi immédiatement:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
On peut également invoquer la caractérisation de l’adhérence comme intersection de tous les fermés contenant l’ensemble.
Si \( A \subseteq B \), tout fermé contenant \( B \) contient aussi \( A \). L’intersection de ces fermés, c’est-à-dire \( \text{Cl}(B) \), doit donc aussi inclure \( \text{Cl}(A) \).
Nous retrouvons donc la même conclusion:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Cette propriété découle directement de la définition de l’adhérence et donne un exemple clair du comportement structurel de ce concept fondamental en topologie.
