La propriété de complémentarité entre l’intérieur et l’adhérence d’un ensemble
En topologie, la propriété de complémentarité entre l’intérieur et l’adhérence d’un ensemble énonce que l’intérieur du complémentaire d’un ensemble \( A \) coïncide avec le complémentaire de l’adhérence de \( A \) : $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Exemple illustratif
Considérons un espace topologique simple : la droite réelle \(\mathbb{R}\) munie de la topologie usuelle, dans laquelle les ouverts sont des intervalles ouverts.
Soit \( A = [0,1] \), un intervalle fermé.
$$ A = [0,1] $$
Le complémentaire de \( A \) dans \(\mathbb{R}\) est :
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
L’intérieur de \( \mathbb{R} - A \), noté \( \text{Int}(\mathbb{R} - A) \), correspond à l’ensemble de ses points intérieurs.
Comme \( (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \) est déjà un ouvert, son intérieur est lui-même :
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
D’autre part, l’adhérence de \( A \), notée \( \text{Cl}(A) \), est le plus petit fermé contenant \( A \), c’est-à-dire \( A \) augmenté de tous ses points d’accumulation.
Or, comme \( A \) est déjà fermé, on a simplement :
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Le complémentaire de cette adhérence dans \(\mathbb{R}\) est alors :
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
En comparant les deux résultats :
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
On constate que ces deux ensembles sont identiques, ce qui confirme que :
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Ce résultat illustre la propriété de complémentarité entre l’intérieur et l’adhérence d’un ensemble.
Démonstration
Soit \( A \) un sous-ensemble d’un espace topologique \( X \). Nous allons démontrer l’égalité suivante :
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Pour ce faire, nous nous appuierons sur les définitions suivantes :
- L’intérieur d’un ensemble \( B \), noté \( \text{Int}(B) \), est l’ensemble des points de \( B \) qui possèdent un voisinage entièrement contenu dans \( B \).
- L’adhérence d’un ensemble \( A \), notée \( \text{Cl}(A) \), est le plus petit fermé contenant \( A \), c’est-à-dire \( A \) lui-même ainsi que tous ses points d’accumulation.
La démonstration repose sur une double inclusion :
1] Preuve de \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Soit \( x \in \text{Int}(X - A) \). Par définition, il existe un voisinage \( U \) de \( x \) tel que \( U \subseteq X - A \).
Donc \( U \cap A = \emptyset \), autrement dit, aucun point de \( A \) ne se trouve dans \( U \).
Si \( x \) était un point d’accumulation de \( A \), tout voisinage de \( x \) contiendrait nécessairement un point de \( A \), ce qui contredirait \( U \cap A = \emptyset \).
Il s’ensuit que \( x \notin \text{Cl}(A) \), donc \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
On a donc bien :
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
2] Preuve de \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Soit \( x \in X - \text{Cl}(A) \). Cela signifie que \( x \) n’appartient ni à \( A \), ni à son adhérence, autrement dit, ce n’est ni un élément de \( A \), ni un point d’accumulation de \( A \).
Il existe donc un voisinage \( U \) de \( x \) tel que \( U \cap A = \emptyset \).
Cela implique que \( U \subseteq X - A \), donc \( x \in \text{Int}(X - A) \).
On en conclut que :
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
3] Conclusion
Les deux inclusions étant établies :
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
On obtient l’égalité suivante :
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Cela achève la démonstration.
