Lemme du recollement

Soit \( X \) un espace topologique, et soient \( A \) et \( B \) deux sous-ensembles fermés dont l’union couvre tout l’espace, c’est-à-dire \( A \cup B = X \). Si les applications \( f : A \to Y \) et \( g : B \to Y \) sont continues vers un espace topologique \( Y \), et coïncident sur l’intersection \( A \cap B \), autrement dit \( f(x) = g(x) \) pour tout \( x \in A \cap B \), alors la fonction \( h : X \to Y \) définie par : $$ h(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in A, \\ g(x) & \text{si } x \in B, \end{cases} $$ est continue.

Autrement dit, sous certaines conditions, il est possible de « recoller » deux applications continues pour en former une nouvelle, elle-même continue sur l’ensemble du domaine.

Lorsque deux fonctions continues \( f : A \to Y \) et \( g : B \to Y \) sont définies sur des ensembles qui se recouvrent et coïncident sur leur intersection, on peut les fusionner en une application \( h \) continue sur \( A \cup B \).

Un exemple concret 

Considérons deux fonctions définies sur des intervalles fermés :

• \( f : [0, 1] \to \mathbb{R} \), définie par \( f(x) = x \), continue sur \( [0, 1] \) ;
• \( g : [1, 2] \to \mathbb{R} \), définie par \( g(x) = 2 - x \), continue sur \( [1, 2] \).

Vérifions les hypothèses du lemme du recollement :

1. Ensembles fermés : Les intervalles \( [0, 1] \) et \( [1, 2] \) sont fermés dans \( \mathbb{R} \).
2. Recouvrement : Leur union couvre l’intervalle \( [0, 2] \), donc \( A \cup B = [0, 2] \).
3. Accord sur l’intersection : L’intersection est réduite à \( \{1\} \). Vérifions que \( f(1) = g(1) \) :
   - \( f(1) = 1 \)
   - \( g(1) = 2 - 1 = 1 \)
   Ainsi, \( f(1) = g(1) = 1 \), ce qui satisfait la condition d’accord sur \( A \cap B \).

Toutes les conditions du lemme sont donc remplies.

Définissons l’application \( h : [0, 2] \to \mathbb{R} \) par :

$$ h(x) = \begin{cases} f(x) = x & \text{si } x \in [0, 1], \\ g(x) = 2 - x & \text{si } x \in [1, 2]. \end{cases} $$

On affirme que \( h \) est continue car :

• sur \( [0, 1] \), \( h(x) = f(x) = x \), fonction continue ;
• sur \( [1, 2] \), \( h(x) = g(x) = 2 - x \), également continue ;
• au point \( x = 1 \), les deux expressions coïncident : \( f(1) = g(1) = 1 \), assurant la continuité au point de raccordement.

Par conséquent, \( h \) est continue sur tout \( [0, 2] \).

La fonction \( h(x) \) se compose de deux segments linéaires :

• sur \( [0, 1] \), \( h(x) = x \), droite strictement croissante ;
• sur \( [1, 2] \), \( h(x) = 2 - x \), droite strictement décroissante.

Ces deux segments se rejoignent de manière continue en \( x = 1 \).

Démonstration

Pour établir la continuité de \( h \), on peut utiliser le critère topologique suivant : l’image réciproque de tout fermé de \( Y \) par \( h \) est un fermé de \( X \).

Autrement dit, si \( C \subseteq Y \) est fermé, alors \( h^{-1}(C) \) doit être fermé dans \( X \).

Comme \( h \) est définie par morceaux à partir de \( f \) sur \( A \) et de \( g \) sur \( B \), on peut écrire :

$$ h^{-1}(C) = f^{-1}(C) \cup g^{-1}(C). $$

Or :

• comme \( f \) est continue, \( f^{-1}(C) \) est fermé dans \( A \),
• et \( g^{-1}(C) \) est fermé dans \( B \), car \( g \) est continue.

De plus, comme \( A \) et \( B \) sont fermés dans \( X \), tout fermé relatif dans \( A \) ou \( B \) est aussi fermé dans \( X \).

Par conséquent, \( h^{-1}(C) \), réunion de deux fermés de \( X \), est fermé dans \( X \).

On en conclut que \( h \) est continue sur tout \( X \), ce qui démontre le lemme du recollement.

Et ainsi de suite.