Propriété caractéristique des ensembles fermés
Un ensemble \( A \) est fermé si, et seulement si, son adhérence coïncide avec lui-même dans l’espace topologique considéré : $$ A = \text{Cl}(A) $$
Exemple concret
Considérons l’espace topologique \( \mathbb{R} \) muni de la topologie usuelle, et l’ensemble \( A = [0, 1] \).
Rappelons qu’un ensemble est fermé s’il contient tous ses points d’accumulation. Dans le cas présent, les points d’accumulation de \( A = [0, 1] \) sont exactement tous les points de l’intervalle, y compris ses extrémités.
Étant donné que l’ensemble \( A \) renferme l’ensemble de ses points d’accumulation, il s’ensuit qu’il est fermé.
Vérifions maintenant si l’égalité \( A = \text{Cl}(A) \) est effectivement satisfaite.
L’adhérence de \( A \) dans la topologie usuelle est l’ensemble lui-même, puisque \( [0, 1] \) contient déjà tous ses points d’accumulation :
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
On en déduit donc :
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Cet exemple confirme que l’ensemble \( A = [0, 1] \) est fermé précisément parce qu’il coïncide avec son adhérence.
Il illustre également la propriété selon laquelle un ensemble est fermé si, et seulement si, il est égal à son adhérence.
Démonstration
Appuyons-nous sur les définitions fondamentales :
- Adhérence d’un ensemble : L’adhérence d’un ensemble \( A \), notée \( \text{Cl}(A) \), est constituée des points de \( A \) ainsi que de tous ses points d’accumulation. Formellement : \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{tout voisinage de } x \text{ contient au moins un point de } A \} \]
- Ensemble fermé : On dit qu’un ensemble \( A \) est fermé s’il contient tous ses points d’accumulation. Ainsi, \( A \) est fermé ⇔ \( A = \text{Cl}(A) \).
Démontrons maintenant l’équivalence dans les deux sens :
1] Si \( A \) est fermé, alors \( A = \text{Cl}(A) \) :
Supposons que \( A \) soit fermé. Par définition, tout point d’accumulation de \( A \) appartient nécessairement à \( A \).
Or, l’adhérence de \( A \) est composée des points de \( A \) ainsi que de ses points d’accumulation. On obtient donc :
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{points d’accumulation de } A \} = A $$
Il s’ensuit que :
$$ A = \text{Cl}(A) $$
2] Si \( A = \text{Cl}(A) \), alors \( A \) est fermé :
Supposons maintenant que \( A = \text{Cl}(A) \). Comme l’adhérence inclut nécessairement tous les points d’accumulation de \( A \), ces points se trouvent donc dans \( A \).
En conséquence, \( A \) contient l’ensemble de ses points d’accumulation, ce qui signifie que \( A \) est fermé.
