Propriété d’inclusion de l’adhérence dans un ensemble fermé

Dans un espace topologique $ X $, si un ensemble $ C $ est fermé et si un sous-ensemble $ A $ vérifie $ A \subseteq C $, alors l’adhérence de $ A $, notée $ \text{Cl}(A) $, est également incluse dans $ C $ : $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ fermé } \ \Rightarrow \ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Cette propriété découle du fait que l’adhérence de $ A $ est, par définition, le plus petit fermé contenant $ A $. Or, puisque $ C $ est fermé et contient déjà $ A $, il doit nécessairement contenir aussi $ \text{Cl}(A) $.

En d’autres termes, l’adhérence de $ A $ ne peut pas s’étendre au-delà des limites imposées par $ C $.

Un exemple concret
Démonstration

Un exemple concret

Considérons l’espace topologique $ X = \mathbb{R} $, c’est-à-dire la droite réelle munie de la topologie usuelle.

Dans cette topologie, les ouverts sont les intervalles ouverts.

Soit l’ensemble $ C = [0,2] $, qui est fermé dans $ \mathbb{R} $ :

$$ C = [0,2] $$

Considérons à présent un sous-ensemble strict de $ C $, par exemple l’intervalle ouvert $ A = (0,1) $ :

$$ A = (0,1) $$

Déterminons maintenant l’adhérence de $ A $ :

L’adhérence de $ A $, notée $ \operatorname{Cl}(A) $, est le plus petit fermé de $ \mathbb{R} $ contenant tous les points de $ A $.

Dans ce cas, l’adhérence de $ (0,1) $ est l’intervalle fermé $ [0,1] $, car c’est le plus petit fermé incluant à la fois tous les points de $ A $ et ses points d’accumulation, à savoir 0 et 1.

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

Or, on avait :

$$ A = (0,1) \subseteq C = [0,2] $$

D’après la propriété, il s’ensuit que $ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $ :

$$ \text{Cl}(A) \subseteq C $$

Et en effet, comme $ \text{Cl}(A) = [0,1] $, il est clair que :

$$ [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

On a donc $ A \subseteq C $, et $ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] \subseteq C $.

Cet exemple illustre parfaitement que, dès lors qu’un ensemble $ A $ est inclus dans un fermé $ C $, son adhérence ne peut en sortir.

Démonstration

Soit $ A \subseteq C \subseteq X $, avec $ C $ fermé dans l’espace topologique $ X $.

Par définition, le complémentaire de $ C $, à savoir $ X \setminus C $, est un ouvert.

L’adhérence de $ A $, notée $ \operatorname{Cl}(A) $, est le plus petit fermé contenant $ A $, et elle s’exprime comme l’intersection de tous les fermés de $ X $ contenant $ A $.

Comme $ C $ est un fermé contenant $ A $, il figure parmi les ensembles pris en compte dans cette intersection.

Il en résulte que l’adhérence $ \operatorname{Cl}(A) $, étant contenue dans cette intersection, est nécessairement incluse dans $ C $ :

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

En somme, puisque $ C $ est déjà fermé et englobe $ A $, l’adhérence de ce dernier ne peut que s’y loger entièrement.

Ce qui achève la démonstration.