Théorème de continuité et suites convergentes
Si \( f : X \to Y \) est une application continue et si \( (x_n) \) est une suite dans \( X \) qui converge vers un point \( x \), alors la suite d’images \( f(x_1), f(x_2), \dots \) converge vers \( f(x) \) dans \( Y \).
Autrement dit, toute fonction continue préserve la convergence des suites.
Lorsque les termes de \( (x_n) \) se rapprochent de \( x \), les images \( f(x_n) \) se rapprochent de \( f(x) \).
Exemple illustratif
Considérons la fonction \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = 2x \), ainsi que la suite \( x_n = \frac{1}{n} \), avec \( n \in \mathbb{N} \).
La suite \( (x_n) \) converge vers \( 0 \) lorsque \( n \to \infty \).
Ses premiers termes sont : \( x_1 = 1 \), \( x_2 = \frac{1}{2} \), \( x_3 = \frac{1}{3} \), etc.
Il est clair que \( x_n \to 0 \) à mesure que \( n \) tend vers l’infini.
Évaluons maintenant l’image de chaque terme par la fonction \( f \) :
$$ f(x_1) = f(1) = 2 $$
$$ f(x_2) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 $$
$$ f(x_3) = f\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} $$
$$ \dots $$
La suite transformée \( f(x_n) = 2x_n \) donne : \( 2, 1, \frac{2}{3}, \dots \), et converge vers \( 0 \).
On a donc bien \( f(x_n) \to f(0) = 0 \), conformément à l’énoncé du théorème.
La fonction continue a ainsi conservé la convergence de la suite initiale.
Démonstration
Montrons que \( f(x_n) \to f(x) \), en supposant que \( f \) est continue et que \( x_n \to x \) dans \( X \).
La continuité de \( f \) implique que l’image réciproque de tout ouvert de \( Y \) est un ouvert dans \( X \).
Nous allons utiliser cette propriété pour démontrer que, pour tout voisinage \( U \) de \( f(x) \), les termes \( f(x_n) \) finissent par appartenir à \( U \) lorsque \( n \) est suffisamment grand.
Étape 1 : Voisinage arbitraire de \( f(x) \)
Soit \( U \) un voisinage ouvert de \( f(x) \) dans \( Y \).
Nous cherchons à montrer qu’il existe un rang \( N \in \mathbb{N} \) tel que, pour tout \( n \geq N \), on ait \( f(x_n) \in U \).
Étape 2 : Image réciproque de \( U \) par \( f \)
La fonction \( f \) étant continue, l’image réciproque \( f^{-1}(U) \) est un ouvert de \( X \).
De plus, comme \( f(x) \in U \), on a \( x \in f^{-1}(U) \).
Étape 3 : Convergence de \( x_n \to x \)
Comme \( x_n \to x \), pour tout voisinage ouvert de \( x \), en particulier pour \( f^{-1}(U) \), il existe un entier \( N \) tel que \( x_n \in f^{-1}(U) \) pour tout \( n \geq N \).
Étape 4 : Conclusion
Il en résulte que, pour tout \( n \geq N \), on a \( f(x_n) \in U \).
Donc, \( f(x_n) \to f(x) \), ce qui conclut la démonstration.
On a ainsi montré qu’une fonction continue préserve la limite des suites : si \( x_n \to x \), alors \( f(x_n) \to f(x) \).
