Théorème de Hausdorff et homéomorphismes
Le théorème affirme que si \( f : X \to Y \) est un homéomorphisme et que \( X \) est un espace de Hausdorff, alors \( Y \) l’est aussi.
Autrement dit, la propriété d’être un espace de Hausdorff est une invariance topologique : elle est préservée par tout homéomorphisme.
Plus précisément, si une application bijective et continue \( f : X \to Y \), dont l’inverse est également continue, relie deux espaces topologiques, et si \( X \) vérifie la propriété suivante - pour tout couple de points distincts, il existe des ouverts disjoints les contenant - alors \( Y \) hérite nécessairement de cette même propriété.
Ce résultat repose sur le fait que les homéomorphismes conservent toutes les propriétés topologiques. La séparation des points propre aux espaces de Hausdorff étant une telle propriété, elle se transmet donc naturellement de \( X \) à \( Y \).
Remarque : Dans la littérature, ce théorème est souvent présenté comme une conséquence immédiate du fait que la propriété de Hausdorff est une propriété topologique, c’est-à-dire une propriété invariante par homéomorphisme.
Exemple concret
Considérons les deux espaces topologiques suivants :
- \( X = \mathbb{R} \), la droite réelle munie de sa topologie usuelle ;
- \( Y = (0, 1) \), l’intervalle ouvert muni de la topologie induite de \( \mathbb{R} \).
Définissons une application \( f : \mathbb{R} \to (0, 1) \) qui associe à chaque réel un point de l’intervalle \( (0, 1) \).
Un exemple classique d’une telle application est la fonction sigmoïde, qui compresse la droite réelle dans l’intervalle ouvert :
$$ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$
Cette fonction est strictement croissante, à valeurs dans \( (0, 1) \), sans jamais atteindre les bornes de l’intervalle.
Vérification que \( f \) est un homéomorphisme :
- Continuité : \( f \) est continue, étant composée de fonctions continues (exponentielle, addition, inversion).
- Injectivité : La fonction est strictement croissante sur \( \mathbb{R} \), donc injective.
- Continuité de l’inverse : L’inverse est donnée par : $$ f^{-1}(y) = \ln\left(\frac{y}{1 - y}\right) $$ Cette expression est définie et continue sur \( (0, 1) \).
Ainsi, \( f \) est un homéomorphisme entre \( \mathbb{R} \) et \( (0, 1) \).
Comme \( \mathbb{R} \) est un espace de Hausdorff, le théorème implique que l’intervalle \( (0, 1) \) l’est aussi.
En conclusion, la propriété de Hausdorff est préservée sous homéomorphisme, même si les formes géométriques des espaces diffèrent.
Démonstration
Soit \( f : X \to Y \) un homéomorphisme et supposons que \( X \) est de Hausdorff.
On veut montrer que \( Y \) est également de Hausdorff, c’est-à-dire que pour tous \( y_1, y_2 \in Y \), avec \( y_1 \ne y_2 \), il existe des ouverts disjoints les contenant respectivement.
Puisque \( f \) est bijective, il existe \( x_1, x_2 \in X \) tels que \( f(x_1) = y_1 \) et \( f(x_2) = y_2 \).
Comme \( x_1 \ne x_2 \) et que \( X \) est de Hausdorff, il existe des ouverts disjoints \( U_1 \) et \( U_2 \) contenant respectivement \( x_1 \) et \( x_2 \).
La continuité de \( f \) implique que les images \( f(U_1) \) et \( f(U_2) \) sont des ouverts de \( Y \) contenant \( y_1 \) et \( y_2 \).
Supposons, par l’absurde, que \( f(U_1) \cap f(U_2) \ne \emptyset \). Alors il existerait \( z \in f(U_1) \cap f(U_2) \), donc des points \( x_1' \in U_1 \), \( x_2' \in U_2 \) tels que \( f(x_1') = f(x_2') = z \), ce qui contredirait l’injectivité de \( f \) et la disjonction de \( U_1 \) et \( U_2 \).
Par conséquent, \( f(U_1) \) et \( f(U_2) \) sont disjoints. Ainsi, \( Y \) est de Hausdorff.
On a donc montré : si \( f : X \to Y \) est un homéomorphisme et si \( X \) est de Hausdorff, alors \( Y \) l’est également.
C.Q.F.D.
