Théorème de la base dans la topologie induite

Soit un espace topologique $X$ muni d’une base $ B_X $ - c’est-à-dire une collection d’ouverts qui engendre la topologie sur $X$ - et soit $Y$ un sous-ensemble de $X$. Alors, la collection des ensembles de la forme $ B \cap Y $, pour $ B \in B_X $, constitue une base $ B_Y $ pour la topologie induite sur $Y$ : $$ B_Y = \{ B \cap Y \ | \ B \in B_X \} $$

Exemple
Démonstration

Exemple

Illustrons ce résultat avec un exemple simple.

Considérons l’espace topologique $ \mathbb{R} $ muni de sa topologie usuelle, dont une base est formée par les intervalles ouverts $(a, b)$, avec $ a < b $.

Soit maintenant $Y = [0, 2]$ un sous-ensemble de $ \mathbb{R} $.

Nous cherchons une base pour la topologie induite sur $Y$.

La base de la topologie usuelle sur $ \mathbb{R} $ est :

$$ B_{\mathbb{R}} = \{(a, b) \ | \ a, b \in \mathbb{R}, \ a < b \} $$

Remarque : Cette base est l’ensemble de tous les intervalles ouverts $(a,b)$ avec $a < b$ réels. Tout ouvert de $ \mathbb{R} $ peut s’écrire comme une union (éventuellement infinie) de tels intervalles. Par exemple, l’ouvert (0,3) peut être exprimé comme $ (0,2) \cup (1,3) $, et (2,5) comme $ (2,4) \cup (3,6) $.

La base de la topologie induite sur $Y$ est obtenue en prenant l’intersection de chaque intervalle ouvert de $ \mathbb{R} $ avec $Y = [0,2]$ :

$$ B_Y = \{ (a, b) \cap [0, 2] \ | \ (a, b) \in B_{\mathbb{R}} \} $$

Voici quelques exemples d’éléments appartenant à $ B_Y $ :

Avec $ (a, b) = (-1, 1) $, on obtient :

$$ (-1, 1) \cap [0, 2] = [0, 1) $$

Donc $ [0, 1) \in B_Y $.

Avec $ (a, b) = (1, 3) $, on obtient :

$$ (1, 3) \cap [0, 2] = (1, 2] $$

Ainsi $ (1, 2] \in B_Y $.

Enfin, avec $ (a, b) = (0.5, 1.5) $, on a :

$$ (0.5, 1.5) \cap [0, 2] = (0.5, 1.5) $$

Cet intervalle appartient aussi à $ B_Y $. Et il en va de même pour d’autres cas.

Vérifions maintenant que $ B_Y $ constitue bien une base pour la topologie induite :

Soit $W = (0.5, 1.5]$ un ouvert dans la topologie induite sur $Y$.

Cet ensemble est ouvert dans $Y$ car il existe un ouvert $U$ dans $ \mathbb{R} $ tel que $W = U \cap [0, 2]$. Par exemple, on peut prendre $U = (0.5, 1.5]$.

$$ W = U \cap [0, 2] = (0.5, 1.5] \cap [0, 2] = (0.5,1.5] $$

Choisissons un point $y \in W$, disons $ y = 1 $.

Comme $U = (0.5, 1.5]$ est ouvert dans $ \mathbb{R} $, il existe un intervalle $ (a, b) \in B_{\mathbb{R}} $ tel que $ y \in (a, b) \subseteq U $.

Par exemple, prenons $ (a, b) = (0.8, 1.2) $.

L’intersection avec $Y$ donne :

$$ (0.8, 1.2) \cap [0, 2] = (0.8, 1.2) $$

Donc, $ (0.8, 1.2) \in B_Y $ et $ y = 1 \in (0.8, 1.2) \subseteq W $.

On en conclut que tout point de $W$ est contenu dans un élément de $ B_Y $ inclus dans $W$, ce qui confirme que $ B_Y $ est une base pour la topologie induite sur $Y$.