Théorème de la continuité par rapport à l’adhérence d’un ensemble

Soit $ f : X \to Y $ une application continue, et soit $ A \subset X $. Si un point $ x \in X $ appartient à l’adhérence de $ A $, c’est-à-dire $ x \in Cl(A) $, alors son image $ f(x) $ appartient à l’adhérence de l’image de $ A $, autrement dit $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Autrement dit, la continuité de $ f $ préserve l’appartenance à l’adhérence d’un ensemble.

En termes topologiques, si un point $ x $ est "arbitrairement proche" de $ A $ (au sens où il appartient à son adhérence), alors son image $ f(x) $ est nécessairement arbitrairement proche de $ f(A) $.

Exemple illustratif
Démonstration

Exemple illustratif

Considérons l’application continue $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, définie par $ f(x) = x^2 $, sur l’espace topologique $ X = \mathbb{R} $, et l’ensemble $ A = (0, 2) \subseteq \mathbb{R} $.

$$ A = (0,2) $$

L’adhérence de $ A $ est donnée par $ Cl(A) = [0, 2] $, car elle contient les points frontières $ x = 0 $ et $ x = 2 $, qui ne sont pas dans $ A $ mais sont des points d’accumulation.

$$ Cl(A) = [0,2] $$

L’image de $ A $ par $ f $ est l’intervalle $ f(A) = (0, 4) $, puisque $ x^2 $ prend toutes les valeurs strictement comprises entre $ 0 $ et $ 4 $ lorsque $ x \in (0, 2) $.

$$ f(A) = (0,4) $$

L’adhérence de $ f(A) $ est l’intervalle fermé $ Cl(f(A)) = [0, 4] $, qui inclut les bornes $ 0 $ et $ 4 $, limites respectives de $ f(x) $ quand $ x $ tend vers $ 0 $ et vers $ 2 $.

$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$

Le théorème affirme que tout point $ x \in Cl(A) $ a pour image un point $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Pour $ x = 0 \in Cl(A) $, on a $ f(0) = 0 \in Cl(f(A)) $.
Pour $ x = 2 \in Cl(A) $, on a $ f(2) = 4 \in Cl(f(A)) $.
Pour tout $ x \in (0, 2) \subset Cl(A) $, on a également $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Cet exemple confirme le théorème : l’image de tout point appartenant à l’adhérence de $ A $ appartient aussi à l’adhérence de l’image $ f(A) $.

Démonstration

Soit $ f : X \to Y $ une application continue, avec $ x \in X $ et $ A \subset X $.

Supposons, par l’absurde, que $ f(x) \notin Cl(f(A)) $.

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

Par définition de l’adhérence, il existe alors un ouvert $ B \subseteq Y $ tel que $ f(x) \in B $ et $ B \cap f(A) = \emptyset $.

Autrement dit, on peut trouver un voisinage de $ f(x) $ disjoint de $ f(A) $, ce qui exprime que $ f(x) $ n’est pas adhérent à $ f(A) $.

Or, puisque $ f $ est continue, l’image réciproque $ f^{-1}(B) $ est un ouvert de $ X $ contenant $ x $.

Mais comme $ B \cap f(A) = \emptyset $, on a $ f^{-1}(B) \cap A = \emptyset $.

Il en résulte qu’il existe un ouvert de $ X $ contenant $ x $ et disjoint de $ A $, ce qui contredit le fait que $ x \in Cl(A) $.

On conclut donc que si $ f(x) \notin Cl(f(A)) $, alors nécessairement $ x \notin Cl(A) $.

Remarque : Cette démonstration repose sur le fait que, pour toute application continue, l’image réciproque d’un ouvert est ouverte. Ainsi, si $ f(x) $ n’est pas adhérent à $ f(A) $, alors $ x $ ne peut pas être adhérent à $ A $.

Ceci achève la démonstration.