Théorème sur la composition des fonctions continues
Si \( f : X \to Y \) et \( g : Y \to Z \) sont deux applications continues, alors leur composition \( g \circ f : X \to Z \) est également continue.
Ce théorème affirme que, lorsqu’on compose deux fonctions continues \( f \) et \( g \), avec :
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
alors la fonction composée \( g \circ f \), obtenue en appliquant d’abord \( f \), puis \( g \), est elle aussi continue.
Autrement dit, la composition de deux fonctions continues donne toujours une fonction continue.
Exemple illustratif
Considérons un exemple explicite de composition \( g \circ f(x) \), où \( f \) est la fonction appliquée en premier (fonction intérieure) et \( g \) celle appliquée ensuite (fonction extérieure).
$$ f(x) = x^2 \quad \text{définie sur} \quad \mathbb{R} $$
$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{définie sur} \quad \mathbb{R} $$
Ces deux fonctions sont continues sur l’ensemble de \( \mathbb{R} \).
Nous souhaitons vérifier si la fonction composée \( g \circ f(x) \) est continue sur \( \mathbb{R} \).
Considérons l’intervalle ouvert \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \).
L’image de cet intervalle par \( f \) est l’intervalle \( (0, 4) \), puisque \( f(x) = x^2 \) ne prend que des valeurs strictement positives dans ce domaine.
Ce nouvel intervalle devient le domaine d’entrée pour la fonction \( g \), autrement dit, l’image de \( f \) se situe entièrement dans le domaine de définition de \( g \).
L’image de \( (0, 4) \) par \( g \) est l’intervalle \( (0, 2) \), qui reste un ouvert.
Par conséquent, l’image réciproque de \( (0, 2) \) par la fonction composée \( g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} \) est également un ouvert.
Ce résultat confirme que la fonction composée satisfait bien à la condition de continuité sur cet intervalle.
Comme ce raisonnement peut être généralisé à tout ouvert de \( \mathbb{R} \), on conclut que \( g \circ f \) est continue sur tout \( \mathbb{R} \).
Démonstration rigoureuse
Présentons maintenant une démonstration formelle du fait que la composition de deux fonctions continues est elle-même continue.
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
Soit \( U \subseteq Z \) un ouvert. Pour prouver que \( g \circ f \) est continue, il faut montrer que l’image réciproque \( (g \circ f)^{-1}(U) \) est un ouvert de \( X \).
Comme \( g \) est continue, on sait que \( g^{-1}(U) \) est un ouvert de \( Y \).
Et comme \( f \) est continue, l’image réciproque \( f^{-1}(g^{-1}(U)) \) est un ouvert dans \( X \).
Or, cette image réciproque composée est précisément \( (g \circ f)^{-1}(U) \), ce qui démontre que ce dernier est un ouvert dans \( X \).
On en déduit que \( g \circ f \) satisfait bien la définition de la continuité : l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert.
