Une fonction continue n’est pas nécessairement une application ouverte
Une fonction continue \( f : X \to Y \) ne transforme pas nécessairement les ouverts de \( X \) en ouverts de \( Y \).
La continuité n’implique pas la préservation des ensembles ouverts, contrairement à ce qui caractérise les applications ouvertes.
Ainsi, une fonction continue n’est pas forcément une application ouverte.
Qu’appelle-t-on une application ouverte ? Une application ouverte \( f : X \to Y \) est une fonction qui envoie tout ouvert de \( X \) sur un ouvert de \( Y \).
Autrement dit, toute fonction continue n’est pas ouverte. Le fait qu’une fonction soit continue ne garantit nullement que l’image d’un ouvert du domaine soit également un ouvert dans le codomaine.
Un exemple concret
Considérons la fonction \( f(x) = x^2 \), continue sur \( \mathbb{R} \).
Soit l’ouvert \( (-2, 2) \subset \mathbb{R} \), contenant tous les réels strictement compris entre \( -2 \) et \( 2 \).
Appliquons la fonction \( f = x^2 \) à cet ensemble.
$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$
L’image de \( (-2, 2) \) par \( f(x) = x^2 \) est l’intervalle \( [0, 4) \), qui n’est pas un ouvert de \( \mathbb{R} \).
En effet, bien que \( 0 \) appartienne à l’image, il n’existe aucun voisinage de \( 0 \) entièrement contenu dans \( [0, 4) \), car \( 0 \) est une borne fermée de l’intervalle.
Cet exemple illustre que, bien que \( f(x) = x^2 \) soit continue, elle ne transforme pas nécessairement un ouvert en un autre ouvert, comme on pourrait intuitivement le penser.
Par conséquent, même si \( f(x) = x^2 \) est continue sur tout \( \mathbb{R} \), elle ne constitue pas pour autant une application ouverte.
Différence entre fonctions continues et applications ouvertes
Les notions de continuité et d’ouverture se distinguent par la manière dont elles traitent les ensembles ouverts.
- Fonction continue (au sens des ouverts)
Une fonction \( f : X \to Y \) est continue si la préimage de tout ouvert de \( Y \) est un ouvert dans \( X \). Autrement dit, pour tout ouvert \( U \subset Y \), l’ensemble \( f^{-1}(U) \) doit être un ouvert de \( X \).La continuité garantit que lorsqu’on "remonte" un ouvert du codomaine \( Y \) via \( f \), on obtient toujours un ouvert dans le domaine \( X \). Elle concerne exclusivement le comportement des préimages d’ouverts, sans se prononcer sur les images directes.
- Applications ouvertes (fonctions ouvertes)
Une fonction \( f : X \to Y \) est dite ouverte si elle envoie chaque ouvert de \( X \) sur un ouvert de \( Y \). Autrement dit, pour tout ouvert \( V \subset X \), l’image \( f(V) \) doit être un ouvert de \( Y \).L’ouverture s’intéresse au comportement direct des ouverts du domaine : elle exige que leur image soit également un ouvert du codomaine. En revanche, elle ne pose aucune condition sur les préimages des ouverts de \( Y \).
En résumé : la continuité concerne la remontée des ouverts depuis le codomaine vers le domaine, tandis que l’ouverture s’intéresse à leur projection directe du domaine vers le codomaine. Ce sont deux propriétés fondamentalement distinctes, qui agissent dans des directions opposées.
Et ainsi de suite.
