Union d’ensembles ouverts dans la topologie quotient

Étant donnée une famille d’ensembles ouverts $ U_i $ dans la topologie quotient $ Q $, la préimage de leur union coïncide avec l’union des préimages respectives, chacune ouverte dans la topologie initiale $ X $ : $$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Par conséquent, l’union d’ouverts dans $ Q $ est elle aussi un ouvert de la topologie quotient.

Un exemple illustratif

Considérons l’ensemble des réels $ \mathbb{R} $ muni de sa topologie usuelle, et définissons sur cet ensemble une topologie quotient via l’application $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, qui associe à tout $ x \in \mathbb{R} $ sa classe d’équivalence modulo 1.

Autrement dit, l’image d’un réel par $ p $ correspond à sa partie fractionnaire.

Par exemple, sous l’action de $ p $, les nombres 0{,}3, 1{,}3, 2{,}3, etc., sont tous identifiés au point 0{,}3 dans la topologie quotient.

représentation graphique de R mod Z

L’espace quotient $ Q $ peut ainsi être représenté comme un cercle, dont les points correspondent aux réels de l’intervalle [0,1), c’est-à-dire de 0 inclus à 1 exclu.

Considérons maintenant une famille d’ouverts dans $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, par exemple :

$ U_1 = (0{,}1, 0{,}4) $
$ U_2 = (0{,}6, 0{,}8) $

Ces ensembles sont ouverts dans $ Q $ et peuvent être vus comme des arcs ouverts du cercle quotient.

Examinons ce qu’il advient de leur réunion dans la topologie quotient.

La préimage de $ U_1 $ par $ p $ est l’union des intervalles correspondants dans $ \mathbb{R} $ :
\[ p^{-1}(U_1) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (2{,}1, 2{,}4) \cup \dots \]
De même, la préimage de $ U_2 $ est :
\[ p^{-1}(U_2) = (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup (2{,}6, 2{,}8) \cup \dots \]

L’union des ensembles $ U_1 $ et $ U_2 $ dans $ Q $ est :

$$ U_1 \cup U_2 = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) $$

Et sa préimage est donnée par :

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

C’est-à-dire :

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup \dots $$

Cette union forme une collection d’intervalles ouverts dans $ \mathbb{R} $, donc un ensemble ouvert dans la topologie usuelle.

Il en résulte que $ U_1 \cup U_2 $ est bien un ouvert dans la topologie quotient sur $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

Et ce raisonnement reste valable pour toute réunion - finie ou infinie - d’ouverts dans $ Q $.