Union de la frontière et de l’intérieur d’un ensemble

L’union de la frontière \( \partial A \) d’un ensemble avec son intérieur \( \text{Int}(A) \) coïncide avec son adhérence : $$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Exemple

Considérons l’ensemble \( A = (0, 1) \) dans l’espace topologique \(\mathbb{R}\), muni de la topologie usuelle.

L’intérieur de \(A\) est l’intervalle ouvert \( (0, 1) \) :

$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$

L’adhérence de \(A\) est l’intervalle fermé \( [0, 1] \), qui inclut également les points frontières :

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

La frontière de \(A\) est formée des extrémités de l’intervalle :

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

On constate que l’union de la frontière et de l’intérieur de \(A\) reconstitue exactement son adhérence :

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Ce résultat met en évidence que tout point de l’adhérence d’un ensemble est soit un point intérieur, soit un point frontière - les deux ensembles étant disjoints.

Démonstration

Pour démontrer rigoureusement cette égalité, rappelons les définitions topologiques fondamentales :

1. Intérieur de \(A\) (\( \text{Int}(A) \))
   Ensemble des points de \(A\) admettant un voisinage entièrement contenu dans \(A\).
2. Adhérence de \(A\) (\( \text{Cl}(A) \))
   Plus petit fermé contenant \(A\), composé des points de \(A\) et de tous ses points d’adhérence. On a :
   \[ \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \]
3. Frontière de \(A\) (\( \partial A \))
   Ensemble des points appartenant simultanément à l’adhérence de \(A\) et à celle de son complémentaire :
   \[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]

Soit \(A \subseteq X\) un sous-ensemble quelconque d’un espace topologique.

Par définition, l’adhérence de \(A\) se décompose de manière canonique comme suit :

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

De plus, on sait que l’intérieur de \(A\) et sa frontière sont deux parties disjointes :

$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$

Il en résulte que cette union est effectivement disjointe et couvre exactement l’adhérence :

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Q.E.D.