Comment déterminer l’intérieur d’un ensemble en R

Pour déterminer l’intérieur d’un ensemble dans un espace topologique muni de la topologie usuelle, on peut utiliser un court script en R.

Commençons par définir deux intervalles ouverts, $ A $ et $ B $.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Ces vecteurs représentent respectivement les intervalles ouverts $ (1, 3) $ et $ (0, 4) $ sur l’ensemble des réels.

L’intervalle $ A $ correspond donc à $ (1,3) $.

> cat("Intervalle A :", A, "\n")

Intervalle A : 1 3

De même, $ B $ correspond à l’intervalle $ (0,4) $.

> cat("Intervalle B :", B, "\n")

Intervalle B : 0 4

Définissons à présent une fonction destinée à approximer l’intérieur de ces ensembles.

En topologie, l’intérieur d’un ensemble est l’union de tous les ouverts inclus en lui.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Grâce à cette fonction, nous pouvons calculer une approximation de l’intérieur de $ A $ et de $ B $.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Affichons maintenant les résultats obtenus.

L’intérieur de l’ensemble $ A = (1,3) $ est donné par l’union des ouverts qu’il contient, ce qui revient à : $\text{Int}(A) = (1,3)$.

> cat("Intérieur de A :", Int_A, "\n")

Intérieur de A : 1.00001 2.99999

De même, l’intérieur de $ B = (0,4) $ est : $\text{Int}(B) = (0,4)$.

> cat("Intérieur de B :", Int_B, "\n")

Intérieur de B : 1e-05 3.99999

Selon une propriété classique des intérieurs, si $ A \subseteq B $, alors : $$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Cet énoncé peut être vérifié à l’aide du script suivant :

cat("Int(A) est inclus dans Int(B) :", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) est inclus dans Int(B) : TRUE

La sortie confirme que l’intérieur de $ A $ est bien contenu dans celui de $ B $.

Ce petit script illustre comment des concepts topologiques peuvent être explorés de manière simple à l’aide de R.