La clôture d’un ensemble est l’union de l’ensemble et de ses points d’accumulation
La clôture d’un ensemble \( A \) dans un espace topologique \( X \), notée \(\text{Cl}(A)\), se définit comme l’union de l’ensemble \( A \) et de l’ensemble \( A' \) de ses points d’accumulation : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Ce résultat constitue une caractérisation essentielle de la clôture d’un sous-ensemble \( A \) dans un espace topologique \((X, \tau)\).
La clôture d’un ensemble \( A \) regroupe tous les points qui, au sens topologique, se trouvent « arbitrairement proches » de \( A \).
Il convient de rappeler que les points d’accumulation ne font pas nécessairement partie de \( A \).
Ce théorème implique qu’un ensemble \( A \) est fermé si, et seulement si, il contient tous ses points d’accumulation. $$ A \text{ est fermé } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Autrement dit, un ensemble est fermé si, et seulement s’il coïncide avec sa clôture.
Exemple illustratif
Soit \( A = (0, 1) \), un sous-ensemble de \( \mathbb{R} \), muni de la topologie usuelle.
$$ A = (0,1) $$
Cet ensemble est constitué de tous les nombres réels strictement compris entre 0 et 1.
Identifions maintenant ses points d’accumulation :
- Tout point \( x \in (0,1) \) est un point d’accumulation, car tout voisinage ouvert de \( x \) contient d’autres éléments de \( A \).
- Le point \( 0 \) est également un point d’accumulation, puisque tout intervalle ouvert de la forme \( (0, \varepsilon) \), avec \( \varepsilon > 0 \), contient des éléments de \( A \).
- De même, \( 1 \) est un point d’accumulation de \( A \), car tout intervalle ouvert contenant \( 1 \) renferme aussi des points de \( A \).
Par conséquent, l’ensemble \( A' \) des points d’accumulation de \( A \) est :
$$ A' = [0,1] $$
L’union de \( A = (0,1) \) et de ses points d’accumulation donne :
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Comme \( \text{Cl}(A) \ne A \), on conclut que \( A \) n’est pas fermé dans la topologie usuelle :
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Exemple 2
Considérons maintenant l’ensemble \( B = [0, 1] \), également dans \( \mathbb{R} \) muni de la topologie usuelle.
$$ B = [0,1] $$
Cet ensemble contient tous les réels \( x \) tels que \( 0 \leq x \leq 1 \).
Identifions ses points d’accumulation :
- Tout point \( x \in (0,1) \) est un point d’accumulation, car tout voisinage ouvert de \( x \) contient d’autres points de \( B \).
- Les extrémités \( 0 \) et \( 1 \) en sont également, car tout voisinage ouvert de ces points intersecte l’intervalle en des points distincts de l’extrémité considérée.
Ainsi, l’ensemble des points d’accumulation de \( B \) est :
$$ B' = [0, 1] $$
Calculons maintenant la clôture de \( B \) :
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] \cup [0,1] = [0,1] $$
Dans ce cas, l’ensemble coïncide avec sa clôture, ce qui prouve que \( B \) est fermé :
$$ B = \text{Cl}(B) = [0,1] $$
Ce second exemple confirme qu’un ensemble est fermé si, et seulement s’il coïncide avec sa clôture.
Démonstration formelle
Nous allons démontrer que, pour tout sous-ensemble \( A \subseteq X \), on a : \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \), où \( A' \) désigne l’ensemble des points d’accumulation de \( A \).
Rappelons d’abord quelques définitions essentielles :
- Clôture de \( A \) : c’est l’intersection de tous les ensembles fermés contenant \( A \).
- Point d’accumulation : un point \( x \in X \) est un point d’accumulation de \( A \) si tout voisinage de \( x \) contient au moins un élément de \( A \setminus \{x\} \).
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Comme \( \text{Cl}(A) \) est un fermé qui contient \( A \), on a immédiatement :
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Soit maintenant \( x \in A' \). Par définition, tout voisinage de \( x \) rencontre \( A \setminus \{x\} \). Supposons que \( x \notin \text{Cl}(A) \). Il existerait alors un voisinage \( U \) de \( x \) tel que \( U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset \), et donc également \( U \cap A = \emptyset \), ce qui contredit le fait que \( x \in A' \).
On en conclut donc :
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
En combinant les deux inclusions, on obtient :
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Soit \( x \in \text{Cl}(A) \). Si \( x \in A \), il appartient évidemment à \( A \cup A' \).
Supposons maintenant que \( x \notin A \). Comme \( x \in \text{Cl}(A) \), tout voisinage de \( x \) doit intersecter \( A \), ce qui signifie que \( x \) est un point d’accumulation de \( A \).
On a donc \( x \in A' \), d’où :
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
3] Conclusion
Étant donné que :
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \quad \text{et} \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
on conclut que :
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Ce qui achève la démonstration.
