L’adhérence d’un ensemble comme union de l’ensemble et de ses points d’accumulation
Dans un espace topologique \( X \), l’adhérence d’un ensemble \( A \), notée \(\text{Cl}(A)\), est donnée par l’union de \( A \) et de l’ensemble \( A' \) de ses points d’accumulation : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Ce théorème offre une caractérisation claire et formelle de l’adhérence d’un sous-ensemble \( A \) d’un espace topologique \((X, \tau)\).
Autrement dit, l’adhérence regroupe tous les points « au contact » de \( A \) : aussi bien les éléments de \( A \) que ceux qui peuvent être approchés arbitrairement près par des points de \( A \).
Il est essentiel de noter que les points d’accumulation ne sont pas nécessairement contenus dans \( A \).
Il en découle immédiatement qu’un ensemble \( A \) est fermé si, et seulement si, il contient tous ses points d’accumulation : $$ A \text{ est fermé } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ En d’autres termes, un ensemble est fermé s’il coïncide avec son adhérence.
Exemple concret
Considérons l’intervalle ouvert \( A = (0, 1) \) dans \( \mathbb{R} \), muni de la topologie usuelle.
$$ A = (0,1) $$
Cet ensemble contient tous les réels strictement compris entre 0 et 1, sans inclure les bornes.
Déterminons les points d’accumulation de \( A \) :
- Tout point \( x \in (0,1) \) est un point d’accumulation, car tout voisinage de \( x \) contient d’autres éléments de \( A \).
- Le point \( 0 \) est un point d’accumulation, puisque tout voisinage ouvert de \( 0 \) (comme \( (0, \varepsilon) \)) intersecte \( A \).
- Il en va de même pour \( 1 \), dont tout voisinage (tel que \( (1-\varepsilon, 1) \)) contient des points de \( A \).
L’ensemble des points d’accumulation est donc :
$$ A' = [0,1] $$
L’adhérence de \( A \) s’écrit alors :
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Comme \( A \) ne contient pas les bornes \( 0 \) et \( 1 \), on a : $$ A \ne \text{Cl}(A) $$ Autrement dit, \( A \) n’est pas fermé dans la topologie usuelle de \( \mathbb{R} \).
Deuxième exemple
Considérons maintenant \( B = [0, 1] \), un intervalle fermé dans \( \mathbb{R} \) avec la topologie usuelle.
$$ B = [0,1] $$
Soit \( x \in B \). On vérifie facilement que :
- Si \( x \in (0,1) \), tout voisinage de \( x \) contient d’autres points de \( B \), donc \( x \in B' \).
- Si \( x = 0 \) ou \( x = 1 \), tout voisinage de ces points contient aussi des éléments distincts de \( x \) dans \( B \), donc \( x \in B' \).
Dès lors, l’ensemble des points d’accumulation est :
$$ B' = [0,1] $$
On a donc :
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
Et puisque \( B = \text{Cl}(B) \), on conclut que \( B \) est fermé dans \( \mathbb{R} \).
Démonstration du théorème
Nous voulons démontrer que pour tout ensemble \( A \subseteq X \), on a : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
On rappelle :
- Adhérence : \( \text{Cl}(A) \) est l’intersection de tous les fermés contenant \( A \).
- Point d’accumulation : un point \( x \in X \) est dans \( A' \) si tout voisinage ouvert de \( x \) contient un point de \( A \) distinct de \( x \).
1] Inclusion : \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Comme \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) par construction, il suffit de montrer que \( A' \subseteq \text{Cl}(A) \).
Soit \( x \in A' \). Si \( x \notin \text{Cl}(A) \), alors il existerait un ouvert \( U \ni x \) tel que \( U \cap A = \emptyset \), ce qui contredit le fait que tout voisinage de \( x \) contient un point de \( A \). On en déduit que \( x \in \text{Cl}(A) \), donc :
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] Inclusion : \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Soit \( x \in \text{Cl}(A) \). Si \( x \in A \), c’est immédiat. Sinon, \( x \notin A \), mais comme \( x \in \text{Cl}(A) \), tout ouvert \( U \ni x \) vérifie \( U \cap A \ne \emptyset \), donc \( x \in A' \). On a ainsi : $$ x \in A \cup A' $$
Conclusion
Les deux inclusions étant établies, on conclut que : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Ce résultat fonde une propriété essentielle de l’adhérence dans tout espace topologique.
