Teorema de L'Hôpital
Sean \( f \) y \( g \) dos funciones derivables en un entorno de \( x_0 \), tales que: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 $$ $$ \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = 0 $$ o bien: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \infty $$ $$ \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = \infty $$ y supongamos que \( g(x) \neq 0 \) y \( g'(x) \neq 0 \) en dicho entorno: $$ g(x) \neq 0 \quad \text{y} \quad g'(x) \neq 0 $$ Si existe el siguiente límite y es finito: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \in \mathbb{R} $$ entonces se cumple que: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = L \in \mathbb{R} $$
No es necesario que las funciones sean derivables exactamente en \( x_0 \); basta con que lo sean en un entorno del punto.
Obsérvese que \( x_0 \) puede ser tanto un número finito como el propio infinito.
Nota: si tras aplicar una vez la regla de L'Hôpital el resultado sigue siendo una forma indeterminada del tipo \( \tfrac{0}{0} \) o \( \tfrac{\infty}{\infty} \), puede repetirse el procedimiento utilizando derivadas de orden superior hasta que el límite pueda evaluarse.
¿Para qué sirve el teorema de L'Hôpital?
Constituye un método eficaz para calcular límites de forma indeterminada \( 0/0 \):
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $$
Y también para límites del tipo \( \infty/\infty \):
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\infty}{\infty} $$
En este caso, tanto \( f(x) \) como \( g(x) \) divergen a infinito.
Nota. Otras formas indeterminadas - como \( \infty - \infty \), \( 0 \cdot \infty \), \( 0^0 \), \( 1^\infty \), \( \infty^0 \) - deben reescribirse previamente en forma de cociente \( 0/0 \) o \( \infty/\infty \) para poder aplicar el teorema. Por ejemplo, un producto puede transformarse en un cociente: $$ f \cdot g = \frac{f}{\tfrac{1}{g}} $$ o una diferencia puede expresarse así: $$ f - g = \frac{ \tfrac{1}{g} - \tfrac{1}{f} }{ \tfrac{1}{f \cdot g} } $$ siempre que el resultado adopte una forma del tipo \( 0/0 \) o \( \infty/\infty \).
Ejemplos y ejercicios
Ejemplo 1
Consideremos el siguiente límite, que es una indeterminación del tipo \( 0/0 \):
$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{ \sin 5x } = \frac{0}{0} $$
Como ambos tienden a cero, se cumplen las hipótesis del teorema:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0 \\ \lim_{x \rightarrow 0} g(x) = 0 $$
Diferenciamos numerador y denominador:
$$ f'(x) = 2e^{2x} + 2e^{-2x} $$ $$ g'(x) = 5 \cos 5x $$
Evaluamos ahora el límite del cociente de derivadas:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2e^{2x} + 2e^{-2x}}{5 \cos 5x} = \frac{4}{5} $$
Este es el valor del límite original.
¿Qué ocurre si el resultado sigue siendo indeterminado? En tal caso, se aplica de nuevo la regla con derivadas de orden superior. El teorema es válido para derivadas de cualquier orden.
Ejemplo 2
Un límite del tipo \( \infty/\infty \):
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x}{x} = \frac{\infty}{\infty} $$
Aplicamos la regla de L'Hôpital:
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{e^x}{1} = \infty $$
Por tanto, el límite original también diverge a infinito:
$$ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \infty $$
Ejemplo 3
Un caso de indeterminación \( 0 \cdot \infty \):
$$\lim_{x \rightarrow 0^+} x^2 \cdot \log x = 0 \cdot (-\infty) $$
Lo reescribimos como cociente:
$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{ \log x }{ \tfrac{1}{x^2} } $$
$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{ \log x }{ x^{-2} } $$
Ahora es del tipo \( \infty/\infty \), y aplicamos L'Hôpital:
$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{ \tfrac{1}{x} }{ -2x^{-3} } $$
$$\lim_{x \rightarrow 0^+} -2x^2 = 0 $$
Ejemplo 4
Otro ejemplo de \( \infty/\infty \):
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{e^x} = \frac{\infty}{\infty} $$
Aplicamos la regla una primera vez:
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x}{e^x} = \frac{\infty}{\infty} $$
Volvemos a aplicarla:
$$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{e^x} = 0 $$
Por tanto, el límite converge a cero.
La demostración
Sean \( f(x) \) y \( g(x) \) derivables en un entorno de \( x_0 \), con \( g(x) \neq 0 \), y que cumplan: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 $$ $$ \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = 0 $$
Como \( f \) y \( g \) son derivables, también son continuas en dicho entorno, de modo que: $$ f(x_0) = g(x_0) = 0 $$
Reescribimos el límite así:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{g(x) - g(x_0)} $$
Dividiendo numerador y denominador por \( x - x_0 \):
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{ \tfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} }{ \tfrac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} } $$
El límite se transforma en:
$$ \frac{ f'(x_0) }{ g'(x_0) } = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
En consecuencia, queda establecido que: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
Y así sucesivamente.
