Puntos estacionarios
Un punto estacionario es un punto \( x=c \) de la gráfica de una función \( y=f(x) \) en el que la primera derivada se anula, es decir, \( f'(c)=0 \).
En un punto estacionario, la gráfica deja de subir o bajar de forma momentánea y la recta tangente se vuelve horizontal.
Esto está directamente relacionado con el significado geométrico de la derivada. La derivada mide la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función:
- Si la derivada es positiva \( f'(x)>0 \), la función es creciente.
- Si la derivada es negativa \( f'(x)<0 \), la función es decreciente.
- Si la derivada es cero \( f'(x)=0 \), la tangente es horizontal.
Por tanto, todo punto estacionario corresponde a un punto donde la pendiente de la gráfica vale cero.
¿Por qué son importantes los puntos estacionarios? Los puntos estacionarios son fundamentales para estudiar el comportamiento de una función. Permiten localizar máximos locales, mínimos locales y puntos de inflexión con tangente horizontal. En cálculo diferencial se utilizan constantemente para comprender cómo cambia una función y cómo evoluciona su gráfica.
¿Cómo se calculan los puntos estacionarios?
Para determinar los puntos estacionarios de una función, normalmente se siguen cuatro pasos:
- Calcular la primera derivada.
- Igualar la derivada a cero.
- Resolver la ecuación obtenida.
- Analizar el comportamiento de la función alrededor de las soluciones.
Ejemplos completos
Ejemplo 1
Consideremos la función
\[ f(x)= x^2-1 \]
Su derivada es
\[ f'(x)=2x \]
Ahora igualamos la derivada a cero:
\[ 2x=0 \]
Al resolver la ecuación obtenemos:
\[ x=0 \]
El siguiente paso consiste en estudiar el signo de la derivada.
Antes de \( x=0 \), la derivada es negativa \( f'(x)<0 \), por lo que la función decrece.
Después de \( x=0 \), la derivada es positiva \( f'(x)>0 \), por lo que la función crece.
Como la función pasa de decreciente a creciente, el punto \( x=0 \) corresponde a un mínimo local.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la función
\[ f(x)=x^3-3x \]
Calculamos la derivada:
\[ f'(x)=3x^2-3 \]
Igualamos la derivada a cero:
\[ 3x^2-3=0 \]
Dividimos ambos miembros entre 3:
\[ x^2-1=0 \]
Después resolvemos la ecuación:
\[ x=\pm1 \]
Por tanto, la función tiene dos puntos estacionarios:
\[ x=-1 \qquad x=1 \]
Ahora analizamos el signo de la derivada en cada intervalo:
- Para \( x<-1 \), la derivada es positiva \( f'(x)>0 \), así que la función crece.
- Para \( -1<x<1 \), la derivada es negativa \( f'(x)<0 \), así que la función decrece.
- Para \( x>1 \), la derivada vuelve a ser positiva \( f'(x)>0 \), por lo que la función vuelve a crecer.
Alrededor de \( x=-1 \), la función cambia de creciente a decreciente. Por ello, \( x=-1 \) es un máximo local.
Alrededor de \( x=1 \), la función cambia de decreciente a creciente. Por ello, \( x=1 \) es un mínimo local.
Importante. Un punto estacionario no siempre corresponde a un máximo o a un mínimo. En algunos casos, la derivada se anula sin cambiar de signo. Cuando esto ocurre, la función sigue creciendo o decreciendo a ambos lados del punto. Esto produce un punto de inflexión con tangente horizontal.
Ejemplo 3
Consideremos la función
\[ f(x)=x^3 \]
Su derivada es
\[ f'(x)=3x^2 \]
Igualamos la derivada a cero:
\[ 3x^2 = 0 \]
lo que da:
\[ x = 0 \]
Sin embargo, en este caso la derivada es positiva tanto antes como después del punto estacionario:
\[ f'(x)>0 \]
Por tanto, la función continúa creciendo a ambos lados de \( x=0 \).
Esto significa que el punto no es un máximo ni un mínimo. En realidad, se trata de un punto de inflexión con tangente horizontal.
En general, un punto de inflexión con tangente horizontal aparece cuando la derivada es cero, pero no cambia de signo alrededor del punto.
En otras palabras, aunque la tangente sea horizontal, la función continúa creciendo o decreciendo después del punto estacionario.
Y así sucesivamente.
