Sector Circular

Un sector circular es una porción de un círculo delimitada por dos radios y el arco que los conecta.

El ángulo central, definido por estos dos radios, determina la amplitud del sector.

Un arco es un segmento de la circunferencia comprendido entre los extremos de ambos radios.

El ángulo central es el ángulo formado entre los radios que delimitan el sector, mientras que el radio es un segmento que une el centro del círculo con cualquier punto de la circunferencia.

Un segmento circular con una sola base es la región comprendida entre un arco y la cuerda que lo subtiende.

Propiedades y Fórmulas Fundamentales

La longitud (L) de un arco contenido en un sector se calcula con la siguiente fórmula:

$$ L = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi r = \frac{\alpha}{180} \cdot \pi r $$

donde α es el ángulo central en grados y r es el radio del círculo.

El área (A_s) de un sector se determina mediante la fórmula:

$$ A_s = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 $$

Si α se expresa en radianes, la fórmula del área del sector se simplifica a:

$$ A_s = \frac{\alpha_{rad}}{2} \cdot r^2 $$

Demostración. El área de un sector circular es proporcional a su ángulo central: $$ A_s : A = \alpha : 360 $$ Es decir, el área del sector A_s está en la misma proporción con respecto al área total del círculo A, que el ángulo central α respecto a una vuelta completa (360°). Expresado como fracción: $$ \frac{A_s}{A} = \frac{\alpha}{360} $$ Multiplicando ambos miembros por A se obtiene: $$ A_s = \frac{\alpha}{360} \cdot A $$ Como el área del círculo es A = π r², se deduce que: $$ A_s = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 $$ Para expresarlo en radianes, basta recordar que una vuelta completa (360°) equivale a 2π radianes, por lo que se obtiene: $$ A_s = \frac{\alpha_{rad}}{2 \pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\alpha_{rad}}{2} \cdot r^2 $$

Otra manera de calcular el área de un sector es a partir de la longitud de su arco, siempre que el ángulo se exprese en grados.

$$ A_s = \frac{1}{2} \cdot L \cdot r $$

Demostración. Partiendo de la fórmula del área de un sector en grados, $$ A_s = \frac{\alpha}{360} \cdot \pi r^2 $$ Si dividimos ambos términos entre L, obtenemos: $$ \frac{ A_s }{L} = \frac{\alpha}{360} \cdot \frac{\pi r^2}{L} $$ Sabiendo que la longitud del arco es $ L = \frac{\alpha}{360} \cdot 2\pi r $, tras simplificar se llega a: $$ \frac{ A_s }{L} = \frac{r}{2} $$ De ahí se concluye que: $$ A_s = \frac{1}{2} \cdot L \cdot r $$

Y así sucesivamente.