Teorema de los Arcos Congruentes en una Circunferencia y Polígonos Regulares
Si una circunferencia se divide en tres o más arcos congruentes, es posible construir un polígono regular inscrito uniendo los extremos de cada arco consecutivo, y también un polígono regular circunscrito trazando las tangentes a la circunferencia.
Además, el teorema inverso también es válido.
Cuando se inscribe un polígono regular de n lados en una circunferencia, o se coloca un polígono regular de manera que cada lado sea tangente a la circunferencia (circunscripción), dicha circunferencia queda dividida en n arcos congruentes.
Un Ejemplo Práctico
A] Polígonos Regulares Inscritos
Tomemos una circunferencia e identifiquemos cuatro puntos sobre ella, situados de modo que estén equidistantes entre sí.
Esto divide la circunferencia en cuatro arcos congruentes (es decir, de igual longitud).
$$ \overparen{AB} \cong \overparen{BC} \cong \overparen{CD} \cong \overparen{AD} $$
A continuación, unimos cada uno de estos puntos con sus puntos vecinos mediante segmentos rectos.
Estos puntos se convierten en los vértices de un polígono inscrito en la circunferencia. En este caso, se obtiene un cuadrado.
Cada ángulo interior del cuadrado se apoya en la circunferencia, y cada lado actúa como cuerda de la misma.
Teorema Inverso
Consideremos una figura perfectamente simétrica, como un cuadrado o un triángulo equilátero.
Identificamos el centro (O) del polígono regular, es decir, el punto equidistante (d) de sus vértices, situado en la intersección de las bisectrices.
Luego, se traza una circunferencia con centro en O y radio igual a la distancia d.
Cada vértice del polígono regular se ubica exactamente sobre la circunferencia, y estos puntos dividen la circunferencia en secciones iguales, es decir, en arcos congruentes.
Por ejemplo, si el polígono regular tiene 5 lados (un pentágono regular), la circunferencia queda dividida en 5 arcos iguales.
B] Polígonos Regulares Circunscritos
Consideremos ahora una circunferencia y dividámosla en n=4 arcos congruentes.
Trazamos líneas tangentes en los extremos de los arcos AB, BC, CD y AD.
Estas cuatro tangentes se cortan en cuatro puntos exteriores a la circunferencia: E, F, G y H.
Al unir estos puntos, se forma un polígono regular circunscrito. En este caso, se trata de un cuadrado.
Los lados del cuadrado tocan la circunferencia en un solo punto por lado, circunscribiéndola perfectamente.
Teorema Inverso
Ahora, dibujemos un polígono regular, por ejemplo, un cuadrado.
Se trazan las bisectrices de cada ángulo y se identifica el centro (O) del polígono regular.
A continuación, se dibuja una circunferencia que toque los lados del polígono sin cortarlos.
Los puntos donde la circunferencia toca cada lado del polígono se denominan puntos de tangencia.
Estos puntos de tangencia dividen la circunferencia en cuatro arcos iguales (congruentes).
Y así sucesivamente.
