Límite fundamental de la función exponencial en el origen

En el estudio de las funciones exponenciales aparece un resultado clave que conviene comprender bien desde el principio. Este límite conecta de forma directa el crecimiento exponencial con los logaritmos y es una herramienta básica en el cálculo diferencial.

Cuando \( x \) tiende a 0, el cociente entre la variación de la función \( a^x - 1 \) y la variación de la variable \( x \) se aproxima al logaritmo natural de la base \( a \): \[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a \]

Demostración paso a paso

Queremos demostrar que

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a \]

Suponemos \( a > 0 \), ya que tanto la función exponencial \( a^x \) como el logaritmo natural \( \ln a \) solo están definidos para bases positivas. Además, excluimos el caso \( a = 1 \), porque en ese caso la función es constante y el límite se obtiene de manera inmediata.

Para simplificar el cálculo, reescribimos la potencia \( a^x \) utilizando la función exponencial de base \( e \).

El logaritmo natural es la función inversa de la exponencial. Por eso, para todo \( a > 0 \), se cumple que

\[ a = e^{\ln a} \]

Sustituimos esta expresión en el límite:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{( e^{\ln a} )^x - 1}{x} \]

Ahora aplicamos las propiedades de las potencias, en particular \( (e^u)^x = e^{ux} \):

\[ (e^{\ln a})^x = e^{x \ln a} \]

De este modo, el límite se transforma en

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{x} \]

Introducimos un cambio de variable que simplifica la expresión:

\[ t = x \ln a \]

Cuando \( x \to 0 \), también se tiene \( t \to 0 \), ya que \( \ln a \) es constante. Además, podemos escribir

\[ x = \frac{t}{\ln a} \]

Sustituimos en el límite:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x \ln a} - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t / \ln a} \]

Reordenando la expresión, obtenemos

\[ \lim_{t \to 0} \left( \frac{e^t - 1}{t} \cdot \ln a \right) \]

Como \( \ln a \) es constante, podemos sacarlo fuera del límite:

\[ \ln a \cdot \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} \]

Aparece así el límite fundamental de la función exponencial, un resultado clásico del cálculo:

\[ \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1 \]

Por tanto, concluimos que

\[ \ln a \cdot \underbrace{ \lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} }_{1} = \ln a \cdot 1 = \ln a \]

En consecuencia, el límite inicial es

\[ \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a \]

Con esto queda demostrada la igualdad.