Un límite notable de la función exponencial
Este límite permite comprender cómo se comporta la función exponencial en las proximidades de cero. \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]
Cuando \( x \) es muy pequeño, la función \( e^x \) puede aproximarse mediante su desarrollo de Taylor de primer orden, lo que simplifica notablemente el análisis:
\[ e^x = 1 + x + o(x) \]
De aquí se deduce que:
\[ e^x - 1 \sim x \]
Por tanto, el cociente entre ambas expresiones tiende a 1 cuando \( x \) se aproxima a cero.
Nota. Este resultado es esencial, ya que muestra que la derivada de la función exponencial en cero es igual a 1. \[ (e^x)' \big|_{x=0} = 1 \] Se trata de una propiedad clave sobre la que se apoya el estudio de la función exponencial y la definición del número \( e \). Y así sucesivamente.
Demostración
Analizamos el siguiente límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \]
Cuando $ x \to 0 $, la función exponencial tiende a 1, por lo que $ e^x - 1 \to 0 $.
En consecuencia, nos encontramos ante una forma indeterminada \( \frac{0}{0} \).
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \frac{0}{0} \]
Para resolver esta indeterminación, introducimos una variable auxiliar:
$$ t = e^x - 1 $$
Así, la función exponencial puede reescribirse como
$$ e^x = t + 1 $$
Aplicamos el logaritmo natural en ambos lados de la igualdad y despejamos \( x \):
$$ \ln( e^x ) = \ln( t + 1 ) $$
$$ x = \ln( t + 1 ) $$
Ahora realizamos un cambio de variable en el límite usando $ t = e^x - 1 $ y $ x = \ln( t + 1 ) $. Obsérvese que cuando $ x \to 0 $, también se cumple que $ t \to 0 $.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln( t + 1)} \]
Dividimos ahora numerador y denominador por $ t $ para simplificar la expresión:
\[ \lim_{t \to 0} \frac{ \frac{ t }{t} }{ \frac{ \ln( t + 1) }{t} } \]
\[ \lim_{t \to 0} \frac{ 1 }{ \frac{ \ln( t + 1) }{t} } \]
En el denominador aparece un límite notable bien conocido, cuyo valor es $ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $.
Por tanto, cuando $ t \to 0 $, el límite se evalúa como:
\[ \lim_{t \to 0} \frac{ 1 }{ \frac{ \ln( t + 1) }{t} } = \frac{1}{1} = 1 \]
En consecuencia, el límite original también vale 1.
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]
Como se quería demostrar.
Y así sucesivamente.
