Un límite notable del logaritmo natural
El límite del logaritmo natural de \( (1+x) \) dividido entre \( x \), cuando \( x \to 0 \), es igual a 1: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Este es uno de los límites más importantes del cálculo. Describe cómo se comporta la función \( \ln(1+x) \) cuando \( x \) se aproxima a cero y aparece con frecuencia en derivadas, desarrollos en serie y aproximaciones.
Demostración
Partimos del siguiente límite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \]
Es una forma indeterminada, ya que cuando $ x \to 0 $ tanto el numerador como el denominador tienden a cero.
\[ \frac{0}{0} \]
Para resolverlo, reescribimos la expresión en una forma más manejable
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln(1 + x) \]
Aplicando una propiedad de los logaritmos, obtenemos
\[ \lim_{x \to 0} \ln \left( (1 + x)^{\frac{1}{x}} \right) \]
Ahora introducimos el cambio de variable $ t = \frac{1}{x} $, de modo que $ x = \frac{1}{t} $. Cuando $ x \to 0 $, entonces $ t \to \infty $
\[ \lim_{t \to \infty } \ln \left( \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} \right) \]
Gracias a la continuidad del logaritmo, podemos escribir
\[ \ln \left( \lim_{t \to \infty } \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} \right) \]
El límite \( \lim_{t \to \infty } \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} \) es un límite notable y vale $ e $.
\[ \ln(e) = 1 \]
Por lo tanto
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 \]
Demostración alternativa
Volvemos a considerar el mismo límite
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \]
En este caso utilizamos una comparación mediante desigualdades.
Para \( x > -1 \), se cumple que
\[ \frac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x \]
Dividimos toda la desigualdad entre \( x \). Como se trata de una desigualdad, hay que distinguir dos casos.
A] Caso $ x>0 $
Si \( x>0 \), la desigualdad no cambia de sentido:
\[ \frac{1}{1+x} \le \frac{\ln(1+x)}{x} \le 1 \]
Hacemos \( x \to 0^+ \):
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1+x} \le \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} \le 1 \]
Como ambos extremos tienden a 1, obtenemos
\[ 1 \le \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} \le 1 \]
Por el teorema del sándwich, se concluye que
\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]
B] Caso $ x<0 $
Si \( x<0 \), la desigualdad cambia de sentido:
\[ \frac{1}{1+x} \ge \frac{\ln(1+x)}{x} \ge 1 \]
Hacemos \( x \to 0^- \):
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{1+x} \ge \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1+x)}{x} \ge 1 \]
De nuevo, ambos extremos tienden a 1, por lo que
\[ 1 \ge \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1+x)}{x} \ge 1 \]
Aplicando el teorema del sándwich, se obtiene
\[ \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]
C] Conclusión
Dado que los límites laterales coinciden, concluimos que
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \]
Este resultado completa la demostración.
