Le principe d'incertitude ou d'indétermination de Heisenberg
Le principe d'incertitude de Heisenberg, également appelé principe d'indétermination de Heisenberg, affirme que certaines paires d'observables physiques, appelées variables conjuguées, ne peuvent pas présenter simultanément des incertitudes arbitrairement faibles dans un même état quantique. L'exemple le plus célèbre est celui de la position et de la quantité de mouvement d'une particule.
Dans la littérature scientifique francophone, les expressions principe d'incertitude et principe d'indétermination sont toutes deux utilisées. La première met l'accent sur la dispersion statistique des résultats possibles, tandis que la seconde souligne que certains observables incompatibles ne peuvent pas posséder en même temps des valeurs parfaitement définies. En pratique, ces deux appellations désignent exactement le même principe physique.
Cette idée a profondément transformé la vision classique de la mesure et constitue aujourd'hui l'un des piliers de la mécanique quantique.
Par exemple, il est impossible de connaître simultanément la position et la quantité de mouvement d'une particule avec une précision arbitraire. Plus l'incertitude sur l'une diminue, plus celle de l'autre augmente.
Cette limitation ne provient pas d'un défaut des instruments de mesure. Elle est inhérente à la nature même des états quantiques. Même avec un dispositif de mesure parfait, la relation d'incertitude resterait valable.
Remarque. En mécanique quantique, certains observables ne peuvent pas posséder simultanément des valeurs arbitrairement bien définies dans un même état. L'incertitude, ou indétermination quantique, ne résulte donc ni d'une limite technologique ni d'une faiblesse de la théorie. Elle constitue une propriété fondamentale de la description quantique de la nature. Comprendre ce principe, c'est comprendre l'une des idées les plus profondes de la physique moderne et l'une des clés de notre représentation du monde microscopique.
La relation d'incertitude entre la position et la quantité de mouvement
La relation d'incertitude la plus connue est celle qui relie la position à la quantité de mouvement.
$$ \Delta x \, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} $$
où :
- \(\Delta x\) désigne l'incertitude sur la position ;
- \(\Delta p\) désigne l'incertitude sur la quantité de mouvement ;
- \(\hbar=\dfrac{h}{2\pi}\) est la constante de Planck réduite.
Cette inégalité montre que le produit de ces deux incertitudes ne peut jamais être inférieur à \(\hbar/2\).
Que signifie concrètement cette relation ?
Si l'on réduit l'incertitude sur la position d'une particule, l'incertitude sur sa quantité de mouvement augmente nécessairement.
À l'inverse, si la quantité de mouvement est déterminée avec une très grande précision, la position devient plus incertaine.
En d'autres termes, il est impossible de rendre simultanément nulles les deux incertitudes.
Imaginons que l'on cherche à localiser une particule avec une précision toujours plus grande. Dans ce cas, l'incertitude \(\Delta x\) diminue.
Comme le membre de droite de l'inégalité est une constante, l'incertitude sur la quantité de mouvement \(\Delta p\) doit augmenter. Le raisonnement est exactement le même dans le sens inverse.
Un exemple intuitif
Imaginons que nous voulions observer un électron.
Pour le détecter, il faut l'éclairer avec un rayonnement électromagnétique. Un photon interagit alors avec l'électron, lui transmet une quantité de mouvement et modifie son mouvement.
Si l'on utilise des photons très énergétiques, donc de très courte longueur d'onde, on peut localiser l'électron avec davantage de précision. En contrepartie, cette interaction perturbe davantage sa quantité de mouvement.
À l'inverse, des photons moins énergétiques perturbent moins la quantité de mouvement de l'électron, mais permettent une localisation moins précise.
Le microscope à rayons gamma de Heisenberg
Heisenberg a illustré cette idée grâce à une expérience de pensée connue sous le nom de microscope à rayons gamma.
Deux situations extrêmes permettent d'en comprendre le principe.
- Haute résolution. La longueur d'onde est très courte. La position de la particule est déterminée avec une grande précision, mais le photon lui transmet une quantité de mouvement importante, ce qui modifie fortement son mouvement.
- Faible résolution. La longueur d'onde est plus grande. La perturbation de la quantité de mouvement est plus faible, mais la position de la particule est connue avec moins de précision en raison de la limite de résolution optique du microscope.
Cette expérience de pensée illustre le compromis entre la précision spatiale et la perturbation de la quantité de mouvement. Cependant, la formulation moderne du principe d'incertitude ne repose pas uniquement sur la perturbation liée à la mesure. Plus fondamentalement, elle découle directement de la structure mathématique de la mécanique quantique.
L'origine ondulatoire du principe d'incertitude
Le principe d'incertitude ne résulte pas uniquement de l'acte de mesure. Il découle aussi de la nature ondulatoire de la matière, introduite par l'hypothèse de de Broglie puis développée dans la mécanique ondulatoire.
Toute particule quantique est décrite par une fonction d'onde. Les représentations de cette fonction dans l'espace des positions et dans l'espace des quantités de mouvement sont reliées mathématiquement par une transformée de Fourier.
Une fonction d'onde très localisée dans l'espace des positions ne peut être obtenue qu'en superposant un grand nombre d'ondes de longueurs d'onde différentes. Cette superposition implique de nombreuses composantes de quantité de mouvement et donc une dispersion plus importante de ses valeurs possibles.
La formulation mathématique
La première démonstration rigoureuse de la relation d'incertitude entre la position et la quantité de mouvement a été publiée par Earle Hesse Kennard en 1927.
$$ \sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2} $$
Dans cette formulation, les incertitudes sont représentées par les écarts types des distributions de probabilité associées à la position et à la quantité de mouvement dans un état quantique donné.
Ainsi, \(\sigma_x\) mesure la dispersion des résultats possibles d'une mesure de la position, tandis que \(\sigma_p\) mesure celle des résultats possibles d'une mesure de la quantité de mouvement.
Des opérateurs qui ne commutent pas
En mécanique quantique, chaque observable physique est représenté par un opérateur.
Les opérateurs de position et de quantité de mouvement ne commutent pas.
$$ [\hat{x},\hat{p}] = i\hbar $$
Le commutateur est défini par l'expression :
$$ [\hat{x},\hat{p}] = \hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x} $$
Cette non-commutativité implique qu'aucun état quantique ne peut être simultanément un état propre de la position et de la quantité de mouvement possédant des valeurs parfaitement déterminées.
Plus généralement, la relation d'incertitude de Robertson relie les écarts types de deux observables à la valeur moyenne du commutateur correspondant.
$$ \sigma_A\sigma_B \ge \frac{1}{2}\left|\left\langle[\hat A,\hat B]\right\rangle\right| $$
Autres relations d'incertitude
Le principe d'incertitude ne concerne pas uniquement la position et la quantité de mouvement. Des relations analogues existent pour de nombreuses autres paires d'observables représentées par des opérateurs qui ne commutent pas.
Énergie et temps
La relation entre l'énergie et le temps est souvent écrite sous la forme approchée suivante :
$$ \Delta E \, \Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2} $$
Son interprétation est plus délicate que celle reliant la position et la quantité de mouvement. Dans la formulation standard de la mécanique quantique, le temps est généralement considéré comme un paramètre et non comme un opérateur autoadjoint conjugué à l'hamiltonien.
Selon le contexte, \(\Delta t\) peut représenter un temps caractéristique d'évolution, la durée d'un processus, le temps nécessaire pour qu'un observable évolue de façon significative ou encore la durée de vie d'un état instable.
Cette relation permet notamment d'interpréter :
- la durée finie des états excités ou instables ;
- la largeur naturelle des raies spectrales ;
- les échelles de temps caractéristiques de certains processus quantiques ;
- certains aspects des processus faisant intervenir des états virtuels ou hors couche de masse en théorie quantique des champs.
En revanche, il est inexact d'affirmer que les particules virtuelles empruntent temporairement de l'énergie en violant la conservation de l'énergie. En théorie quantique des champs, cette conservation reste strictement valable. Les particules virtuelles sont des objets mathématiques intervenant dans les calculs perturbatifs et ne correspondent pas à des particules directement observables.
Moment angulaire
Les composantes cartésiennes du moment angulaire vérifient des relations d'incertitude de la forme :
$$ \sigma_{J_i}\sigma_{J_j} \ge \frac{\hbar}{2} \left| \langle J_k\rangle \right| $$
Les différentes composantes du moment angulaire ne peuvent donc pas être déterminées simultanément avec une précision arbitraire.
Pour les permutations cycliques de \(i\), \(j\) et \(k\), les opérateurs correspondants satisfont la relation de commutation :
$$ [\hat J_i,\hat J_j]=i\hbar\hat J_k $$
Par exemple :
$$ [\hat J_x,\hat J_y]=i\hbar\hat J_z $$
Un état quantique peut ainsi posséder une valeur parfaitement définie d'une composante du moment angulaire, mais jamais des trois simultanément.
Nombre de particules et phase
En optique quantique et dans la théorie de la supraconductivité, les relations d'incertitude entre le nombre de particules et la phase sont souvent représentées de manière schématique par :
$$ \Delta N \, \Delta \phi \gtrsim 1 $$
Cette relation exprime le compromis entre l'incertitude sur le nombre de particules et celle associée à la phase.
Dans les supraconducteurs, la variable pertinente est généralement liée au nombre de paires de Cooper, tandis que \(\phi\) représente la phase du paramètre d'ordre supraconducteur.
Le facteur numérique exact et la formulation mathématique dépendent des conventions retenues. Par ailleurs, la phase quantique ne possède pas d'opérateur autoadjoint universellement admis directement analogue à celui de la position. Cette relation ne doit donc pas être interprétée avec le même degré de généralité que la relation entre la position et la quantité de mouvement.
