Le principe de superposition en mécanique quantique

Le principe de superposition est l'un des fondements de la mécanique quantique. Il affirme que l'état d'un système quantique peut être représenté comme une combinaison linéaire de plusieurs états appartenant à une même base de l'espace des états. Chaque composante est associée à un coefficient complexe appelé amplitude de probabilité.

La superposition est l'un des concepts les plus importants, mais aussi l'un des plus déroutants de la physique moderne. Elle s'accorde difficilement avec l'intuition que nous avons acquise à l'échelle du monde quotidien, mais elle est indispensable pour comprendre le comportement de la matière et de la lumière à l'échelle microscopique.

Grâce à ce principe, la mécanique quantique permet de décrire avec une remarquable précision des systèmes tels que les électrons, les photons et, plus généralement, les particules élémentaires.

En physique classique, on considère généralement qu'un objet possède à tout instant des propriétés bien définies. La mécanique quantique propose une description très différente.

Selon le principe de superposition, l'état d'un système quantique peut s'exprimer comme une combinaison linéaire de plusieurs états de base associés à l'observable étudiée. Avant la mesure de cette observable, le système n'est donc pas nécessairement décrit par un seul état propre pris isolément.

Remarque. Cela ne signifie pas que le système passe sans cesse d'un état à un autre, ni qu'il possède simultanément toutes les propriétés correspondantes au sens classique. Son état quantique est représenté par une combinaison cohérente de plusieurs états de base compatibles avec la situation physique étudiée. Cette représentation dépend de la base choisie, donc de l'observable que l'on souhaite mesurer.

La superposition quantique et le spin de l'électron

Le spin de l'électron fournit l'un des exemples les plus simples pour comprendre le principe de superposition. Le spin est une propriété quantique intrinsèque des particules élémentaires. Il ne doit pas être assimilé à la rotation d'un objet classique sur lui-même.

Lorsque l'on mesure la composante du spin d'un électron suivant un axe donné, seuls deux résultats peuvent être obtenus.

Les états propres correspondants sont traditionnellement notés :

• spin ↑ (spin vers le haut)
• spin ↓ (spin vers le bas)

L'électron est une particule de spin \(1/2\). Les deux résultats possibles correspondent respectivement aux valeurs propres \(+\hbar/2\) et \(-\hbar/2\) de la composante du spin suivant l'axe choisi.

Dans une description classique, on pourrait penser que l'électron possède déjà l'une de ces deux orientations avant la mesure.

La mécanique quantique décrit pourtant une situation différente. Avant la mesure, l'état de l'électron peut être représenté comme une superposition des deux états propres :

\[ |\psi\rangle = \alpha |\uparrow\rangle + \beta |\downarrow\rangle \]

Dans cette expression, \( |\uparrow\rangle \) et \( |\downarrow\rangle \) désignent les deux états propres de la composante du spin suivant l'axe de mesure.

Les coefficients \( \alpha \) et \( \beta \) sont appelés amplitudes de probabilité. Ce sont généralement des nombres complexes. Lorsque l'état est normalisé, ils vérifient la relation suivante :

\[ |\alpha|^2+|\beta|^2=1 \]

D'après la règle de Born, la probabilité d'obtenir chaque résultat est donnée par le carré du module de l'amplitude correspondante :

• \( |\alpha|^2 \) pour le spin vers le haut ;
• \( |\beta|^2 \) pour le spin vers le bas.

Il serait toutefois incorrect d'interpréter cette expression comme si l'électron possédait en même temps deux orientations classiques du spin.

En réalité, l'électron est décrit par un état quantique unique, exprimé ici comme une combinaison linéaire de deux états propres formant une base de l'espace des états de spin. Il s'agit d'une propriété propre à la mécanique quantique, sans équivalent direct dans la physique classique.

Remarque. Les amplitudes \( \alpha \) et \( \beta \) contiennent davantage d'informations que les seules probabilités de mesure. Leur phase relative joue également un rôle essentiel, car elle détermine la manière dont les différentes composantes de la superposition peuvent interférer. C'est cette propriété qui est à l'origine des interférences quantiques, l'un des phénomènes les plus caractéristiques de la mécanique quantique.

Pourquoi la superposition quantique est-elle possible ?

La superposition quantique n'est pas une hypothèse ajoutée arbitrairement à la théorie. Elle découle directement de la structure mathématique de la mécanique quantique.

L'état d'un système quantique est représenté par un vecteur appartenant à un espace de Hilbert, c'est-à-dire un espace vectoriel complexe muni d'un produit scalaire.

Comme dans tout espace vectoriel, une combinaison linéaire de plusieurs vecteurs appartient elle aussi à cet espace. Ainsi, si \( |\psi_1\rangle \) et \( |\psi_2\rangle \) sont deux états quantiques possibles, l'expression suivante :

\[ |\psi\rangle=\alpha|\psi_1\rangle+\beta|\psi_2\rangle \]

représente également un état quantique admissible, à condition que celui-ci soit correctement normalisé.

La dynamique quantique respecte la même structure linéaire. L'équation de Schrödinger, qui décrit l'évolution temporelle d'un système quantique isolé, est une équation différentielle linéaire.

Cette propriété entraîne une conséquence fondamentale. Si deux fonctions d'onde sont des solutions de l'équation de Schrödinger pour un même hamiltonien, toute combinaison linéaire de ces solutions est elle aussi une solution.

Le principe de superposition repose donc sur une double linéarité : celle de l'espace des états et celle de l'équation de Schrödinger.

Autrement dit, la superposition n'est pas une règle ajoutée artificiellement à la mécanique quantique. Elle découle naturellement du formalisme mathématique sur lequel la théorie est construite.

Une analogie pour mieux comprendre

Pour se faire une première idée de la superposition quantique, on peut utiliser l'analogie de la pièce de monnaie.

En physique classique, une pièce posée à plat sur une surface présente toujours l'un de deux états bien définis : pile ou face.

Dans une représentation quantique simplifiée, avant toute mesure, le système ne serait pas nécessairement décrit uniquement par l'état « pile » ou par l'état « face ». Il pourrait être représenté par une superposition cohérente de ces deux états.

Cette analogie doit cependant être maniée avec prudence. Une superposition quantique ne ressemble pas à une pièce qui tourne dans les airs.

À chaque instant, une pièce classique possède une position, une vitesse et une orientation déterminées. Si nous ne pouvons pas prévoir avec certitude le résultat final, c'est parce que nous ne connaissons pas avec suffisamment de précision toutes les conditions initiales et les forces qui agissent sur elle.

Dans un système quantique, la situation est différente. La superposition ne traduit ni une simple ignorance de l'état réel du système, ni une limitation de nos instruments. Elle appartient à la structure même de l'état quantique et peut produire des effets d'interférence observables.

Le rôle de la mesure

La description du système change lorsqu'une mesure est effectuée.

Supposons que l'électron soit décrit par l'état de superposition normalisé suivant :

\[ |\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle \]

Dans ce cas, les deux amplitudes de probabilité ont le même module. D'après la règle de Born, la mesure de la composante du spin suivant l'axe considéré peut produire deux résultats équiprobables.

Pour le spin vers le haut :

\[ P(\uparrow)=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 \]

\[ P(\uparrow)=\frac{1}{2}=50\,\% \]

Pour le spin vers le bas :

\[ P(\downarrow)=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 \]

\[ P(\downarrow)=\frac{1}{2}=50\,\% \]

On obtient donc :

• spin ↑ (spin vers le haut), avec une probabilité de 50 % ;
• spin ↓ (spin vers le bas), avec une probabilité de 50 %.

Chaque mesure individuelle fournit un résultat unique et bien défini. Dans le cadre du postulat de la mesure projective, l'état du système est immédiatement projeté sur l'état propre correspondant au résultat observé.

Si la mesure donne un spin vers le haut, le système est alors décrit par \( |\uparrow\rangle \). Si elle donne un spin vers le bas, il est décrit par \( |\downarrow\rangle \).

Ainsi, la superposition initiale permet de calculer les probabilités des différents résultats possibles, tandis que chaque mesure individuelle ne produit qu'un seul de ces résultats.

Ce comportement constitue l'une des caractéristiques essentielles de la mécanique quantique et l'une des principales différences qui la séparent de la physique classique.

L'interprétation physique du passage entre l'état superposé et le résultat observé relève toutefois du problème de la mesure. Cette question demeure au cœur des différentes interprétations de la mécanique quantique.

L'expérience des deux fentes

La démonstration expérimentale la plus célèbre du principe de superposition est l'expérience des deux fentes.

Lorsqu'une particule, comme un électron ou un photon, peut traverser deux fentes sans qu'aucune mesure ne permette de déterminer le trajet qu'elle a emprunté, son état est décrit comme une superposition des deux chemins possibles.

Tant que cette superposition conserve sa cohérence quantique, ses différentes composantes interfèrent entre elles et produisent sur l'écran de détection une figure d'interférence caractéristique.

En revanche, dès qu'une mesure permet de savoir par quelle fente la particule est passée, cette cohérence est perdue et la figure d'interférence disparaît.

Cette expérience est l'une des démonstrations les plus convaincantes du caractère quantique de la matière et de la lumière. Elle montre clairement que le comportement des particules ne peut pas être expliqué par les seules lois de la physique classique.

La superposition quantique n'est pas un simple manque d'information

L'un des aspects les plus surprenants de la mécanique quantique est que la superposition ne peut pas être interprétée comme une simple ignorance de l'état réel du système.

Prenons un exemple. Une carte à jouer est posée face cachée sur une table. Tant qu'elle n'est pas retournée, nous ignorons s'il s'agit d'un as ou d'un roi. Pourtant, la carte possède déjà une identité parfaitement définie. L'incertitude ne concerne que l'observateur.

Dans un système quantique, la situation est tout autre.

Selon la formulation standard de la mécanique quantique, avant qu'une mesure ne soit effectuée, le système ne possède pas nécessairement de valeur définie pour l'observable considérée. La superposition ne traduit donc pas un manque d'information. Elle constitue une propriété intrinsèque de l'état quantique lui-même.

Cette idée est au cœur de certaines des questions les plus profondes de la physique moderne. Depuis plusieurs décennies, elle nourrit les débats scientifiques et philosophiques sur la nature de la réalité et sur la signification de la mesure quantique.

Superposition quantique et mélange statistique

Une superposition quantique ne doit pas être confondue avec un mélange statistique. Ces deux notions décrivent des situations physiques fondamentalement différentes.

• Dans un mélange statistique, le système se trouve déjà dans l'un des états possibles. L'incertitude provient uniquement du fait que l'observateur ignore lequel.
• Dans une superposition quantique, le système est décrit par un état quantique unique et cohérent, qui combine plusieurs états possibles.

Cette distinction n'est pas seulement théorique. Elle peut être vérifiée expérimentalement.

Une superposition quantique peut produire des interférences parce que ses différentes composantes conservent des relations de phase bien définies. À l'inverse, un mélange statistique ne donne jamais lieu à ce type d'interférence.

L'observation d'une figure d'interférence constitue donc une preuve expérimentale qu'un système est réellement dans un état de superposition cohérente, et non dans un simple mélange probabiliste d'états préexistants.

La décohérence et la fragilité des superpositions quantiques

La décohérence quantique rend les superpositions pratiquement inobservables à l'échelle macroscopique, en raison des interactions permanentes entre le système et son environnement.

Les superpositions quantiques sont extrêmement fragiles.

Un système parfaitement isolé peut conserver une superposition cohérente pendant un certain temps. En pratique, toutefois, aucun système réel n'est totalement isolé. Les photons, les molécules de l'air, les vibrations du réseau cristallin, les champs électromagnétiques et de nombreuses autres interactions modifient en permanence l'évolution du système.

Ces interactions donnent naissance à un processus appelé décohérence quantique.

La décohérence correspond à la perte progressive de cohérence entre les différentes composantes d'une superposition. En d'autres termes, les composantes de la fonction d'onde perdent progressivement leur capacité à interférer de manière cohérente.

Les interférences quantiques ne peuvent apparaître que si les différentes composantes d'une superposition conservent des relations de phase bien définies. Tant que cette cohérence est préservée, elles peuvent se combiner et produire des phénomènes sans équivalent en physique classique.

Remarque. La décohérence ne détruit pas nécessairement la fonction d'onde. Elle supprime les interférences observables entre les différentes composantes de la superposition. Le système se comporte alors, du point de vue expérimental, comme s'il était décrit par un mélange statistique classique. La décohérence est ainsi considérée comme le mécanisme physique qui explique l'émergence du comportement classique à partir de systèmes quantiques. En revanche, à elle seule, elle ne résout pas le problème de la mesure.

La décohérence explique également pourquoi nous n'observons pas de superpositions quantiques dans la vie quotidienne.

Les objets macroscopiques interagissent continuellement avec leur environnement au travers d'un très grand nombre de processus microscopiques. La cohérence quantique disparaît alors en des temps extrêmement courts.

Les objets qui nous entourent nous apparaissent ainsi toujours dans un état macroscopique unique et bien défini, alors même qu'ils sont constitués, à l'échelle microscopique, de systèmes obéissant aux lois de la mécanique quantique.

Et ainsi de suite.