Límite de la raíz enésima cuando n tiende a infinito

El comportamiento de la raíz enésima cuando el índice n crece indefinidamente depende del valor del radicando. Este resultado es fundamental en análisis matemático y aparece con frecuencia en el estudio de sucesiones y límites.

Si el radicando (a) es mayor o igual que 1, entonces el límite cuando n→∞ es igual a 1. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{a} = 1 $$

Para entender este resultado, es útil escribir la raíz enésima en forma de potencia:

$$ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $$

Cuando n tiende a infinito, el exponente \(\frac{1}{n}\) se aproxima a cero. En consecuencia, la expresión converge hacia \(a^0\), que vale 1 para cualquier número real distinto de cero.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} a^{\frac{1}{n}} = 1 $$

Demostración

Supongamos que a≥1. En ese caso, su raíz enésima también es mayor o igual que 1:

$$ a \ge 1 \Rightarrow \sqrt[n]{a} \ge 1 $$

Por lo tanto, la diferencia respecto a 1 es no negativa:

$$ \sqrt[n]{a} - 1 \ge 0 $$

Definimos la sucesión \( b_n \) como:

$$ b_n = \sqrt[n]{a} - 1 \ge 0 $$

Entonces se cumple:

$$ b_n + 1 = \sqrt[n]{a} $$

Elevando ambos miembros a la potencia n:

$$ (b_n + 1)^n = (\sqrt[n]{a})^n $$

$$ (b_n + 1)^n = a $$

Aplicamos ahora la desigualdad de Bernoulli:

$$ (b_n + 1)^n \ge 1 + n b_n $$

De donde se obtiene:

$$ a \ge 1 + n b_n $$

$$ \frac{a - 1}{n} \ge b_n $$

Esto nos permite acotar la sucesión:

$$ 0 \le b_n \le \frac{a - 1}{n} $$

Al tomar límites en la desigualdad:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 0 \le \lim_{n \rightarrow ∞} b_n \le \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{a - 1}{n} $$

$$ 0 \le \lim_{n \rightarrow ∞} b_n \le 0 $$

Por el teorema del encajonamiento:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n = 0 $$

Por consiguiente:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{a} = 1 $$

Este resultado se mantiene incluso si el radicando está elevado a una potencia m. En ese caso, el límite sigue siendo 1. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{a^m} = 1 $$

Demostración

Por ejemplo, si tomamos m = 1/2, el radicando se convierte en √a:

$$ b_n = \sqrt[n]{a^{1/2}} - 1 \ge 0 $$

$$ b_n = \sqrt[n]{\sqrt{a}} - 1 \ge 0 $$

Entonces:

$$ b_n + 1 = \sqrt[n]{\sqrt{a}} $$

Elevando a la potencia n:

$$ (b_n + 1)^n = (\sqrt[n]{\sqrt{a}})^n $$

$$ (b_n + 1)^n = \sqrt{a} $$

Aplicando de nuevo la desigualdad de Bernoulli:

$$ (b_n + 1)^n \ge 1 + n b_n $$

$$ \sqrt{a} \ge 1 + n b_n $$

$$ \frac{\sqrt{a} - 1}{n} \ge b_n $$

Por tanto:

$$ 0 \le b_n \le \frac{\sqrt{a} - 1}{n} $$

Al tomar límites:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 0 \le \lim_{n \rightarrow ∞} b_n \le \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{\sqrt{a} - 1}{n} $$

$$ 0 \le \lim_{n \rightarrow ∞} b_n \le 0 $$

Por el teorema del encajonamiento:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} b_n = 0 $$

En consecuencia:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \sqrt[n]{\sqrt{a}} = 1 $$

El mismo razonamiento se puede aplicar a otras potencias del radicando.