Límite de la sucesión $ k^n $ cuando n tiende a infinito

El valor del límite de la sucesión kⁿ cuando n tiende a infinito depende directamente del número real k. En función de este valor, la sucesión puede crecer sin límite, estabilizarse o acercarse a cero: $$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n = \begin{cases} +∞ \:\:\: \text{si k>1} \\ 1 \:\:\: \text{si k=1} \\ 0 \:\:\: \text{si -1<k<1} \\ \text{no existe} \:\:\: \text{si k \le -1} \end{cases} $$

Caso k>1

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n $$

Cuando k es mayor que 1, la sucesión crece cada vez más rápido. Para justificarlo, se puede aplicar la desigualdad de Bernoulli:

$$ k^n \ge 1+n(k-1) $$

Como k>1, el término n(k-1) aumenta sin límite al crecer n. Por tanto, también lo hace kⁿ.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n \ge \lim_{n \rightarrow ∞} 1+n(k-1) $$

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n = +∞ $$

En consecuencia, la sucesión diverge a +∞.

Nota. Por ejemplo, si k=1.1

Este mismo comportamiento se observa en la función exponencial continua f(x)=k^x.

 

 

Caso k=1

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n $$

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 1^n $$

Si k=1, todos los términos de la sucesión son iguales a 1:

$$ 1^n = 1 $$

Por tanto, se trata de una sucesión constante que converge a 1.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 1^n = 1 $$

Ejemplo. La sucesión permanece constante y converge a 1.

Caso -1<k<1 con k≠0

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n $$

Cuando el valor de k está entre -1 y 1, la sucesión se aproxima a cero. Para verlo con claridad, reescribimos la expresión:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \left( \frac{1}{ \frac{1}{k} } \right)^n $$

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{1}{\left( \frac{1}{k} \right)^n} $$

La condición

$$ -1 < k < 1 $$

equivale a

$$ |k| < 1 $$

Dividiendo por |k|, con k distinto de cero, se obtiene:

$$ 1 < \frac{1}{|k|} $$

Esto significa que la base en el denominador es mayor que 1, por lo que su potencia crece sin límite:

$$ \left( \frac{1}{|k|} \right)^n \rightarrow +∞ $$

En consecuencia, su inverso tiende a cero:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} \frac{1}{\left( \frac{1}{k} \right)^n} = 0 $$

Así, la sucesión converge a 0.

Ejemplo. Si k=0.9, los términos se van acercando a 0.

Caso k=0

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n $$

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 0^n $$

Si k=0, todos los términos a partir de n≥1 son nulos:

$$ 0^n = 0 $$

Por tanto, la sucesión es constante y converge a 0.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} 0^n = 0 $$

En este caso, la sucesión es infinitesimal.

Ejemplo. Si k=0, la sucesión converge a 0.

Caso k<-1

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n $$

Cuando k es menor que -1, la sucesión no tiene límite.

Sus términos cambian de signo en cada paso, mientras que su valor absoluto crece sin límite.

Más concretamente:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n = \begin{cases} +∞ \:\: \text{si n es par} \\ -∞ \:\: \text{si n es impar} \end{cases} $$

Por tanto, la sucesión no converge.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} k^n = \text{no existe} $$

Ejemplo. Si k=-1, la sucesión oscila entre 1 y -1, sin acercarse a ningún valor.

Si k=-1.1, la sucesión crece en valor absoluto y alterna de signo: tiende a +∞ en los términos pares y a -∞ en los impares.

Este tipo de comportamiento es característico de las sucesiones exponenciales con base negativa de valor absoluto mayor que uno.