Definición del número e como límite

El número e puede definirse a partir de un límite muy especial. Se obtiene sumando 1 a una cantidad cada vez más pequeña y elevando el resultado a una potencia cada vez mayor. \[ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \] La constante e es un número irracional cuyo valor aproximado es 2.71828.

Este límite resulta especialmente interesante porque, aunque adopta la forma indeterminada \( 1^{\infty} \), en realidad converge hacia un valor finito bien definido.

Se trata de un resultado fundamental en matemáticas. A partir de él se construyen muchos otros límites y fórmulas, y permite definir una de las constantes más importantes del análisis. Además, está en la base de la función exponencial \( e^x \), cuya principal propiedad es que su derivada coincide con la propia función.

Demostración

Consideremos el límite

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x  $$

Puesto que

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right) = 1 $$

la expresión presenta la forma indeterminada \( 1^{ \infty } \)

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = 1^{ \infty } $$

Para evaluarla, introducimos una variable auxiliar \( y \):

$$ y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $$

Tomamos logaritmos naturales en ambos miembros:

$$ \ln y = \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $$

Aplicando las propiedades de los logaritmos, obtenemos

$$ \ln y = x \cdot \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) $$

Introducimos ahora el cambio de variable $ t = \frac{1}{x} $, de donde $ x = \frac{1}{t} $

$$ \ln y = \frac{1}{t} \cdot \ln(1+t) $$

$$ \ln y = \frac{\ln(1+t)}{t} $$

Cuando \( x \to +\infty \), se cumple que \( t \to 0^+ \). En consecuencia, el límite se transforma en

$$ \lim_{x \to +\infty} \ln y = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} $$

Este último es un límite notable: $ \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1 $. 

$$ \lim_{x \to +\infty} \ln y = 1 $$

Para eliminar el logaritmo natural, aplicamos la función exponencial a ambos miembros:

$$ \lim_{x \to +\infty} e^{ \ln y } = e^1 $$

$$ \lim_{x \to +\infty} y = e^1 $$

Dado que la función exponencial es continua, se concluye que

$$ \lim_{x \to +\infty} y = e^1 = e $$

Finalmente, sustituyendo de nuevo $ y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $, obtenemos

$$ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $$

como se quería demostrar.

Y así sucesivamente.