Límite de sen x entre x

Uno de los resultados más importantes de la trigonometría afirma que, cuando la variable $ x $ tiende a cero, el cociente entre $ \sin x $ y $ x $ se aproxima al valor 1.

$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$

Demostración

A primera vista este límite presenta la forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. En efecto, cuando $ x \to 0 $ tanto el numerador $ \sin x \to 0 $ como el denominador $ x \to 0 $ tienden a cero.

$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x }{x} = \frac{0}{0} $$

El objetivo es demostrar que, a pesar de esta indeterminación inicial, el valor del límite es igual a 1.

$$ \lim_{x \to 0} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$

Para hacerlo debemos considerar el comportamiento de la función cuando $ x $ se aproxima a cero tanto por la derecha como por la izquierda, es decir, en los casos $ x \to 0^+ $ y $ x \to 0^- $.

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ \sin x }{x} = 1 $$

En realidad basta estudiar uno de los dos casos. La razón es que la función $ \frac{\sin x}{x} $ es una función par. En efecto,

$$ \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{- \sin x}{-x} $$

Esto significa que su gráfica es simétrica respecto del eje y en las proximidades de $ x = 0 $.

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} $$

Por lo tanto es suficiente demostrar el resultado en uno de los dos casos. Consideremos, por ejemplo, el caso $ x \to 0^+ $.

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} $$

En esta demostración la variable $ x $ representa un ángulo medido en radianes.

En el diagrama geométrico observamos que el ángulo $ x $ corresponde al arco de circunferencia $ \widehat{ AP } $. La longitud de este arco se encuentra entre las longitudes de los segmentos $ \overline{ BP } = \sin x $ y $ \overline{ AC } = \tan x $.

$$ \overline{BP} < \widehat{ AP } < \overline{AC} $$

Es decir, se cumple la siguiente desigualdad:

$$ \sin x < x < \tan x $$

Ahora dividimos todos los términos de la desigualdad entre $ \sin x $.

$$ \frac{ \sin x }{ \sin x } < \frac{ x }{ \sin x } < \frac{ \tan x }{ \sin x } $$

$$ 1 < \frac{ x }{ \sin x } < \frac{ \tan x }{ \sin x } $$

Tomamos ahora los recíprocos de los tres términos de la desigualdad.

$$ \frac{ \sin x }{ \tan x } < \frac{ \sin x }{ x } < 1 $$

Según la segunda identidad fundamental de la trigonometría, se cumple que $ \tan x = \frac{ \sin x }{ \cos x } $. Por lo tanto

$$ \frac{\sin x}{\tan x} = \cos x $$

Sustituyendo esta relación en la desigualdad obtenemos

$$ \cos x < \frac{ \sin x }{ x } < 1 $$

En este punto aplicamos el teorema del sándwich. Calculamos el límite cuando $ x \to 0^+ $ en cada uno de los términos de la desigualdad.

$$ \lim_{x \to 0^+} \cos x < \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{ x } < \lim_{x \to 0^+} 1 $$

Los límites de los extremos son iguales a 1.

$$ \underbrace{ \lim_{x \to 0^+} \cos x }_{1} < \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{ x } < \underbrace{ \lim_{x \to 0^+} 1 }_{1} $$

Por lo tanto se obtiene

$$ 1 < \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{ x } < 1 $$

De acuerdo con el teorema del sándwich, el límite intermedio también debe ser igual a 1.

$$ \lim_{x \to 0^+} \frac{ \sin x }{ x } = 1 $$

Con esto queda demostrada la igualdad.

Y así sucesivamente.