Límite fundamental de la función \( (1+x)^k -1 \) dividido por \( x \) en 0
El límite fundamental asociado a la función \( (1+x)^k \) afirma que, para cualquier exponente real \( k \), se cumple \[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k \]
Este resultado describe cómo se comporta la función en las proximidades de \( x = 0 \) y, en particular, coincide con el valor de su derivada en ese punto.
En otras palabras, cuando \( x \) es muy pequeño, la función \( (1+x)^k \) puede aproximarse mediante una función lineal cuya pendiente es precisamente \( k \).
Demostración
Demostramos que
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k \]
Para ello, utilizamos la identidad \( e^{\ln u} = u \), que permite expresar \( (1+x)^k \) en términos de la función exponencial y el logaritmo natural
$$ (1+x)^k = e^{\ln \big( (1+x)^k \big)} $$
Aplicando las propiedades de los logaritmos, obtenemos
$$ (1+x)^k = e^{ k \ln (1+x)} $$
Sustituyendo esta expresión en el límite inicial, se tiene
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ k \ln (1+x)} - 1}{x} \]
A continuación, multiplicamos y dividimos por \( k \ln (1+x) \)
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ k \ln (1+x)} - 1}{x} \cdot \frac{ k \ln(1+x) }{ k \ln(1+x) } \]
Reordenando los factores, el límite se escribe como
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{ k \ln (1+x)} - 1}{ k \ln(1+x) } \cdot \frac{ \ln(1+x) }{ x } \cdot k \]
Los dos primeros factores son límites notables bien conocidos
- \( \lim_{u \to 0} \frac{e^{u} - 1}{u} = 1 \), de donde se deduce que \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{ k \ln (1+x)} - 1}{ k \ln(1+x) } = 1 \)
- \( \lim_{x \to 0} \frac{ \ln(1+x) }{ x } = 1 \)
Por tanto, el producto de los tres factores converge a \( k \) cuando \( x \to 0 \)
\[ \lim_{x \to 0} \underbrace{ \frac{e^{ k \ln (1+x)} - 1}{ k \ln(1+x) } }_{1} \cdot \underbrace{ \frac{ \ln(1+x) }{ x } }_{1} \cdot k = k \]
En consecuencia, se concluye que
\[ \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^k - 1}{x} = k \]
lo que completa la demostración.
