Criterio suficiente para la derivabilidad
Sea \( f(x) \) una función continua en el intervalo \([a,b]\) y derivable en el intervalo abierto \( (a,b) \), salvo, a lo sumo, en un único punto \(x_0 \in (a,b)\). Si \[ \lim_{x \to x_0^-} f'(x)=\lim_{x \to x_0^+} f'(x)=l, \] entonces \(f\) es derivable en \(x_0\) y \[ f'(x_0)=l. \]
En otras palabras, si la derivada se aproxima al mismo valor por ambos lados de un punto y la función es continua en ese punto, entonces la función es derivable allí y su derivada coincide con dicho valor.
Este criterio establece una condición suficiente para la derivabilidad, aunque no una condición necesaria. Es decir, una función puede ser derivable incluso cuando este criterio no puede aplicarse.
Se trata de una herramienta especialmente útil en cálculo diferencial, ya que permite demostrar la derivabilidad sin recurrir al cálculo directo del cociente incremental, que en muchas ocasiones resulta mucho más laborioso.
¿Por qué es útil este criterio? Para comprobar si una función es derivable en un punto, el método habitual consiste en calcular el límite del cociente incremental: \[ f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \] Sin embargo, este límite no siempre es sencillo de evaluar. Cuando la derivada ya es conocida a ambos lados del punto, el criterio suficiente simplifica notablemente el proceso. Basta verificar que la función es continua y que los límites laterales de la derivada existen y coinciden para concluir inmediatamente que la función es derivable en ese punto.
Ejemplo práctico
Consideremos la función
$$ f(x)=x|x|. $$
Queremos comprobar si es derivable en \(x_0=0\) aplicando el criterio suficiente para la derivabilidad.
Comenzamos escribiendo la función sin el valor absoluto:
$$ f(x)= \begin{cases} -x^2 & \text{si } x<0 \\ x^2 & \text{si } x\ge0 \end{cases} $$
Comprobamos que la función es continua en \(x=0\):
$$ \lim_{x\to0^-}(-x^2)=\lim_{x\to0^+}x^2=0=f(0). $$
Calculamos ahora la derivada en todos los puntos distintos de \(0\).
Para \(x<0\)
$$ f'(x)=-2x $$
Para \(x>0\)
$$ f'(x)=2x. $$
Por tanto, la derivada existe en todos los puntos salvo, posiblemente, en \(x=0\).
Evaluamos los límites laterales de la derivada.
Por la izquierda,
$$ \lim_{x\to0^-}(-2x)=0. $$
Por la derecha,
$$ \lim_{x\to0^+}2x=0. $$
Como ambos límites existen y coinciden,
$$ \lim_{x\to0^-}f'(x)=\lim_{x\to0^+}f'(x)=0. $$
La función es continua en \(0\), es derivable para \(x\neq0\) y los límites laterales de su derivada coinciden. Por tanto, el criterio permite afirmar que
$$ f'(0)=0. $$
Obsérvese que no ha sido necesario calcular el cociente incremental
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}. $$
La derivabilidad se obtiene directamente a partir del comportamiento de la derivada en las proximidades del punto.
Nota. Este ejemplo es intencionadamente sencillo. La principal ventaja del criterio aparece cuando la derivada tiene una expresión mucho más compleja y calcular el cociente incremental de forma directa supone un esfuerzo considerablemente mayor.
Ejemplo 2
Consideremos la función
$$ f(x)= \begin{cases} \sin x+x^2 & \text{si } x<0 \\ x & \text{si } x\ge0 \end{cases} $$
Queremos comprobar nuevamente si la función es derivable en \(x_0=0\).
Empezamos verificando la continuidad.
$$ \lim_{x\to0^-}(\sin x+x^2)=\lim_{x\to0^+}x=0=f(0). $$
Calculamos ahora la derivada para todos los puntos distintos de cero.
Para \(x<0\)
$$ f'(x)=\cos x+2x $$
Para \(x>0\)
$$ f'(x)=1. $$
Así, la derivada existe en todos los puntos salvo, posiblemente, en \(x=0\).
Evaluamos los límites laterales.
Por la izquierda,
$$ \lim_{x\to0^-}(\cos x+2x)=1. $$
Por la derecha,
$$ \lim_{x\to0^+}1=1. $$
Como
$$ \lim_{x\to0^-}f'(x)=\lim_{x\to0^+}f'(x)=1, $$
y la función es continua en \(0\), el criterio suficiente para la derivabilidad permite concluir que
$$ f'(0)=1. $$
Una vez más, no es necesario calcular directamente el cociente incremental:
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}. $$
La conclusión se obtiene de forma inmediata a partir del comportamiento de la derivada a ambos lados del punto.
Demostración
Supongamos que \(f(x)\) es continua en el intervalo \([a,b]\) y derivable en el intervalo abierto \((a,b)\), salvo, posiblemente, en el punto \(x_0\). Supongamos además que
$$ \lim_{x\to x_0^-}f'(x)=\lim_{x\to x_0^+}f'(x)=l. $$
Debemos demostrar que \(f\) es derivable en \(x_0\) y que
\[ f'(x_0)=l. \]
Tomemos un punto \(x<x_0\).
Como la función es continua en el intervalo cerrado \([x,x_0]\) y derivable en el intervalo abierto \((x,x_0)\), podemos aplicar el teorema del valor medio de Lagrange.
En consecuencia, existe un punto
\[ c\in(x,x_0) \]
tal que
\[ \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}=f'(c). \]
Hacemos ahora que \(x\) tienda a \(x_0\) por la izquierda.
El miembro izquierdo converge a
\[ \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}=f'_-(x_0), \]
que representa la derivada lateral izquierda de \(f\) en \(x_0\).
Como \(c\) pertenece siempre al intervalo \((x,x_0)\), también se aproxima a \(x_0\) por la izquierda cuando \(x\to x_0^-\).
Por hipótesis,
\[ \lim_{c\to x_0^-}f'(c)=l. \]
Por tanto,
\[ f'_-(x_0)=l. \]
Repitiendo el mismo razonamiento para un punto \(x>x_0\), obtenemos
\[ f'_+(x_0)=l. \]
Las derivadas laterales existen y coinciden. En consecuencia, la función es derivable en \(x_0\) y se cumple que
\[ f'(x_0)=l. \]
Con ello queda demostrada la afirmación.
Interpretación geométrica. La derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Si las pendientes de las rectas tangentes correspondientes a puntos que se aproximan a \(x_0\) convergen al mismo valor tanto por la izquierda como por la derecha, la recta tangente en \(x_0\) tendrá necesariamente esa misma pendiente. En consecuencia, la función es derivable en dicho punto.
Y así sucesivamente.
