Derivada de la función identidad
La derivada de la función identidad \( f(x)=x \) es constante y vale \( 1 \) en todos los puntos de su dominio. \[ D \ x = 1 \]
La función identidad es una de las funciones más sencillas del cálculo diferencial, pero también una de las más importantes. Su comportamiento es completamente regular: cuando la variable \( x \) aumenta, la función crece exactamente en la misma cantidad.
En otras palabras, la tasa de variación de la función nunca cambia. Precisamente por eso, su derivada es siempre igual a \( 1 \).
Cálculo de la derivada
Para obtener la derivada utilizamos la definición del cociente incremental:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Como la función es \( f(x)=x \), entonces:
\[ f(x+h)=x+h \]
Sustituyendo en la fórmula de la derivada:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)-x}{h} \]
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{x+h-x}{h} \]
Ahora simplificamos el numerador:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{h}{h} \]
Como \( \frac{h}{h}=1 \) para todo \( h \neq 0 \), obtenemos:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} 1 \]
El límite de una constante es la propia constante:
\[ f'(x)=1 \]
Por lo tanto, la derivada de la función identidad es siempre igual a \( 1 \).
Interpretación geométrica
La gráfica de la función \( y=x \) es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
Además, esta recta corresponde a la bisectriz del primer y del tercer cuadrante, ya que forma un ángulo de \( 45^\circ \) con el eje \( x \).
La pendiente de la recta es:
\[ m=\tan 45^\circ =1 \]
Como la gráfica ya es una línea recta, la recta tangente en cualquier punto coincide con la propia gráfica.
Por esta razón, la derivada mantiene siempre el valor \( 1 \).
Ejemplo práctico
Consideremos la función
\[ f(x)=x \]
La pendiente de su gráfica es constante en todos los puntos. Esto significa que la inclinación de la recta nunca cambia.
Por ejemplo, tomemos los puntos \( (1,1) \) y \( (3,3) \).
Calculamos la pendiente:
\[ m=\frac{3-1}{3-1}=\frac{2}{2}=1 \]
Ahora tomemos los puntos \( (4,4) \) y \( (5,5) \), y repitamos el cálculo:
\[ m=\frac{5-4}{5-4}=\frac{1}{1}=1 \]
El resultado vuelve a ser exactamente el mismo.
Esto confirma que la función crece con una tasa de variación constante y que su derivada es idénticamente igual a \( 1 \).
El mismo razonamiento puede aplicarse a cualquier otro par de puntos de la gráfica.
