Puntos de no derivabilidad
Una función no es derivable en un punto cuando su derivada no existe o tiende a infinito.
Una función es derivable en un punto únicamente si la derivada existe y toma un valor finito.
Siempre que el límite del cociente incremental no exista o diverja hacia infinito, la función deja de ser derivable en ese punto.
Desde el punto de vista geométrico, los puntos de no derivabilidad aparecen como determinadas "irregularidades" en la gráfica de la función. Las más importantes son los puntos de inflexión con tangente vertical, las cúspides y los puntos angulosos.
Interpretación geométrica. La derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función. Cuando esa pendiente se aproxima a un valor finito, la función es derivable. En cambio, si la pendiente tiende a \(+\infty \) o \(-\infty \), la recta tangente se vuelve vertical, paralela al eje \( y \), y la pendiente deja de estar definida. En consecuencia, la función deja de ser derivable en ese punto. La derivada también puede no existir cuando la función presenta comportamientos distintos por la izquierda y por la derecha.
Puntos de inflexión con tangente vertical
Un punto de inflexión con tangente vertical es un punto en el que la función es continua y la recta tangente es vertical. En este caso, las derivadas laterales coinciden, pero ambas tienden a \( +\infty \) \[ f'_-(c)=f'_+(c)=+\infty \] o ambas tienden a \( -\infty \) \[ f'_-(c)=f'_+(c)=-\infty \]
En ambos casos la recta tangente es vertical y paralela al eje \( y \), por lo que su ecuación es:
\[ x=c \]
Además, cerca de este punto la función cambia de concavidad. Por esta razón se clasifica como un punto de inflexión.
Geométricamente la recta tangente existe, pero la derivada no existe como número real finito.
Ejemplo práctico
Consideremos la función:
\[ y=\sqrt[3]{x} \]
También puede escribirse en forma de potencia:
\[ y=x^{\frac{1}{3}} \]
Para calcular la derivada aplicamos la regla de la potencia:
\[ \frac{d}{dx}(x^n)=n x^{n-1} \]
Como \( n=\frac{1}{3} \), obtenemos:
\[ y'=\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} \]
La derivada también puede escribirse así:
\[ y'=\frac{1}{3x^{2/3}} \]
En \( x=0 \) la función es continua, pero la derivada tiende a infinito por ambos lados:
\[ x \to 0^+ \Rightarrow y' = + \infty \]
\[ x \to 0^- \Rightarrow y' = + \infty \]
Por tanto, \( x=0 \) es un punto de inflexión con tangente vertical.
Como la derivada permanece positiva, la función sigue siendo creciente en \( x=0 \).
Cúspides
Una cúspide es un punto en el que la función es continua y la recta tangente es vertical, mientras que las derivadas laterales son infinitas pero distintas. \[ f'_-(c)\neq f'_+(c) \]
En particular, una cúspide aparece cuando la derivada lateral izquierda tiende a
\[ f'_-(c)= -\infty \]
y la derivada lateral derecha tiende a
\[ f'_+(c)= +\infty \]
o viceversa.
En la gráfica, este comportamiento produce una punta aguda característica.
Geométricamente existe una tangente vertical, pero la función cambia bruscamente de dirección. Por eso las derivadas laterales no coinciden.
Nota. En la mayoría de los casos ambas derivadas son infinitas y tienen signos opuestos. Sin embargo, también puede ocurrir que una derivada lateral sea infinita y la otra permanezca finita. Por ejemplo:
\[ f'_-(c)= +\infty \]
\[ f'_+(c)=0 \]
Incluso en este caso el punto no es derivable y la recta tangente deja de ser única.
Ejemplo práctico
Consideremos la función:
\[ y=\sqrt[3]{x^2} \]
Para analizarla conviene escribirla en forma de potencia usando la propiedad de las raíces:
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}} \]
Por tanto:
\[ y=x^{\frac{2}{3}} \]
Esta forma simplifica el cálculo de la derivada.
Aplicamos nuevamente la regla de la potencia:
\[ \frac{d}{dx}(x^n)=n x^{n-1} \]
\[ y'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \]
Así obtenemos:
\[ f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \]
Cuando \( x \to 0^+ \), la derivada lateral derecha tiende a infinito:
\[ f'_+(x)\to +\infty \]
Cuando \( x \to 0^- \), la derivada lateral izquierda tiende a menos infinito:
\[ f'_-(x)\to -\infty \]
Por tanto, las derivadas laterales son infinitas en valor absoluto, pero tienen signos opuestos.
Esto significa que la función es continua en \( x=0 \), aunque el punto corresponde a una cúspide.
Puntos angulosos
Un punto anguloso es un punto en el que la función es continua y las derivadas laterales existen y son finitas, pero distintas. \[ f'_-(c)\neq f'_+(c) \]
En este caso la pendiente de la recta tangente cambia de manera abrupta y la gráfica forma un ángulo.
Como consecuencia, la recta tangente no es única y la función deja de ser derivable en ese punto.
Nota. En general ambas derivadas laterales son finitas pero diferentes. Sin embargo, una puede ser finita mientras la otra tiende a infinito. Por ejemplo:
\[ f'_-(c)=0 \]
\[ f'_+(c)=+\infty \]
También en este caso el punto no es derivable y la recta tangente no es única.
Ejemplo práctico
Consideremos la función valor absoluto:
\[ y=|x| \]
Para derivarla resulta conveniente escribirla como una función definida por tramos:
\[ y= \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x <0 \end{cases} \]
Ahora derivamos cada tramo por separado.
Para \( x>0 \), la función es \( y=x \), luego:
\[ y'=1 \]
Para \( x<0 \), la función es \( y=-x \), luego:
\[ y'=-1 \]
Analicemos ahora la derivabilidad en el origen.
La derivada lateral izquierda en \( x=0 \) es:
\[ f'_-(0)=-1 \]
La derivada lateral derecha es:
\[ f'_+(0)=1 \]
Ambas derivadas laterales existen y son finitas, pero no coinciden:
\[ f'_-(0)\neq f'_+(0) \]
Por tanto, la función no es derivable en el origen y el punto \( (0,0) \) es un punto anguloso.
Aunque la función es continua en ese punto, no es derivable.
Observaciones
Algunas observaciones importantes sobre los puntos de no derivabilidad:
- La no derivabilidad no implica necesariamente discontinuidad.
Muchas funciones son continuas pero no derivables en ciertos puntos. Por ejemplo, en un punto anguloso la función sigue siendo continua aunque la derivada no exista. Desde el punto de vista geométrico, para que una función sea derivable su gráfica debe ser suave, sin ángulos, puntas ni tangentes verticales.
Y así sucesivamente.
