Teorema del valor medio de Cauchy
Sean \( f(x) \) y \( g(x) \) dos funciones continuas en el intervalo cerrado \([a,b]\) y derivables en el intervalo abierto \((a,b)\). Supongamos, además, que \( g'(x)\neq0 \) para todo \( x\in(a,b) \). Entonces existe al menos un punto \( c\in(a,b) \) tal que \[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \]
En otras palabras, existe un punto del intervalo en el que el cociente entre las derivadas de las dos funciones coincide exactamente con el cociente entre sus variaciones totales.
El teorema del valor medio de Cauchy es uno de los resultados fundamentales del cálculo diferencial. Relaciona el comportamiento global de dos funciones con su comportamiento local y garantiza que, bajo determinadas condiciones, ambas perspectivas están conectadas mediante una misma razón de cambio.
¿Por qué es importante este teorema? El teorema del valor medio de Cauchy generaliza el teorema del valor medio de Lagrange al estudiar simultáneamente dos funciones. Si elegimos \( g(x)=x \), entonces \( g'(x)=1 \), y la igualdad \[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} \] se convierte en \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \] que es precisamente el enunciado del teorema del valor medio de Lagrange. Por esta razón, el resultado de Cauchy se considera una extensión natural del de Lagrange. Además, constituye una herramienta esencial para demostrar la regla de l'Hôpital, lo que explica su importancia dentro del cálculo diferencial.
Ejemplo resuelto
Consideremos las funciones \( f(x)=x^2 \) y \( g(x)=x+1 \) en el intervalo \( [1,3] \).
Ambas funciones son continuas y derivables, y además se cumple que
\[ g'(x)=1\neq0 \]
Comenzamos calculando el cociente entre los incrementos de ambas funciones:
\[ \frac{f(3)-f(1)}{g(3)-g(1)} = \frac{9-1}{4-2} = 4 \]
Ahora calculamos sus derivadas:
\[ f'(x)=2x \qquad g'(x)=1 \]
Por tanto, el cociente entre las derivadas es
\[ \frac{f'(c)}{g'(c)} = 2c \]
Igualando este valor al cociente de los incrementos, obtenemos
\[ 2c=4 \]
de donde se deduce que
\[ c=2 \]
Como \( c=2 \) pertenece al intervalo \( (1,3) \), se verifican todas las hipótesis del teorema y, por tanto, también su conclusión.
Interpretación geométrica
En el punto \( c=2 \), el cociente entre las tasas de variación instantánea de las dos funciones coincide exactamente con el cociente entre sus variaciones totales en el intervalo \([1,3]\).
Desde un punto de vista geométrico, esto significa que el cociente entre las pendientes de las rectas tangentes a las gráficas de \( f \) y \( g \) es igual al cociente entre las pendientes de las rectas secantes que unen los extremos del intervalo.
Observación. La condición \( g'(x)\neq0 \) es imprescindible. Gracias a ella, el cociente entre las derivadas está siempre bien definido, ya que el denominador nunca puede anularse.
Demostración
Supongamos que \( f(x) \) y \( g(x) \) son continuas en \( [a,b] \) y derivables en \( (a,b) \).
Para demostrar el teorema del valor medio de Cauchy, definimos la función auxiliar
\[ F(x)=f(x)-kg(x) \]
donde \( k\in\mathbb{R} \).
Dado que \( f(x) \) y \( g(x) \) cumplen las hipótesis de continuidad y derivabilidad, la función \( F(x) \) también es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\).
A continuación, elegimos la constante \( k \) de forma que
\[ F(a)=F(b) \]
Esta condición implica que
\[ f(a)-kg(a)=f(b)-kg(b) \]
Reordenando los términos que contienen \( k \), obtenemos
\[ k[g(b)-g(a)]=f(b)-f(a) \]
y, por tanto,
\[ k=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]
Al sustituir este valor en la función auxiliar, resulta
\[ F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g(x) \]
Con esta elección de \( k \), la función \( F(x) \) satisface las hipótesis del teorema de Rolle.
En consecuencia, existe al menos un punto \( c\in(a,b) \) tal que
\[ F'(c)=0 \]
Derivemos ahora la función \( F(x) \):
\[ F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x) \]
Al evaluar esta derivada en el punto \( c \), obtenemos
\[ F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)=0 \]
Por lo tanto,
\[ f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)=0 \]
lo que implica que
\[ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) \]
Finalmente, dividimos ambos miembros entre \( g'(c) \). Como \( g'(c)\neq0 \), esta operación es válida:
\[ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \]
Con ello demostramos que existe al menos un punto del intervalo \( (a,b) \) en el que el cociente entre las derivadas de ambas funciones coincide con el cociente entre sus incrementos.
\[ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \]
Con esto queda demostrado el teorema del valor medio de Cauchy.
Y así sucesivamente.
