Derivada de la función recíproca
Sea \( f(x) \) una función derivable que no se anula en ningún punto de su dominio. La derivada de su función recíproca se obtiene tomando el opuesto de la derivada de la función y dividiéndolo por el cuadrado de la propia función:
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)'= -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \]
Esta fórmula solo puede aplicarse cuando \( f(x)\neq 0 \), ya que la función recíproca no existe en los puntos donde el denominador se anula.
En esta regla intervienen dos elementos esenciales:
- la derivada de la función, representada por \( f'(x) \)
- el valor de la propia función, cuyo cuadrado aparece en el denominador
El signo negativo indica que la función recíproca cambia en sentido contrario a la función original. Si \( f(x) \) aumenta, su recíproco tiende a disminuir. Por el contrario, si \( f(x) \) disminuye, su recíproco tiende a aumentar.
Ejemplo
Calcular la derivada de la función
\[ y=\frac{1}{\sin x} \]
La función que aparece en el denominador es
\[ f(x)=\sin x \]
Su derivada es
\[ f'(x)=\cos x \]
Aplicando la regla de la función recíproca obtenemos:
\[ y' = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} \]
Ejemplo 2
Consideremos ahora la función
\[ y=\frac{5}{x^3-2} \]
Antes de derivar, resulta conveniente separar la constante:
\[ y=5\cdot\frac{1}{x^3-2} \]
La función del denominador es
\[ f(x)=x^3-2 \]
y su derivada vale
\[ f'(x)=3x^2 \]
Sustituyendo estos valores en la fórmula:
\[ y' = 5\left( -\frac{3x^2}{(x^3-2)^2} \right) \]
Por tanto,
\[ y' = -\frac{15x^2}{(x^3-2)^2} \]
Demostración mediante la definición de derivada
Consideremos la función
\[ y=\frac{1}{f(x)} \]
Según la definición de derivada,
\[ y'= \lim_{h\to0} \frac{\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}}{h} \]
Podemos reescribir la expresión como
\[ y'= \lim_{h\to0} \left(\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}\right)\frac{1}{h} \]
Reduciendo las fracciones a un denominador común, obtenemos
\[ y'= \lim_{h\to0} \frac{f(x)-f(x+h)}{f(x)f(x+h)} \cdot \frac{1}{h} \]
Reordenando los factores:
\[ y'= \lim_{h\to0} \frac{f(x)-f(x+h)}{h}\cdot\frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Ahora extraemos el signo negativo:
\[ y'= \lim_{h\to0} -1\cdot\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\cdot\frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Dado que \( -1 \) es una constante, puede sacarse fuera del límite:
\[ y'= -\lim_{h\to0}\left[\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\cdot\frac{1}{f(x)f(x+h)}\right] \]
Aplicando la propiedad del límite del producto:
\[ y'= -\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\lim_{h\to0}\frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
El primer límite es, por definición, la derivada de \( f(x) \):
\[ y'= -\underbrace{\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_{f'(x)}\cdot\lim_{h\to0}\frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Sustituyendo este resultado:
\[ y'= -f'(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{1}{f(x)f(x+h)} \]
Además, toda función derivable es continua, por lo que
\[ \lim_{h\to0}f(x+h)=f(x) \]
Por consiguiente,
\[ y'= -f'(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{1}{f(x)\cdot f(x)} \]
\[ y'= -f'(x)\cdot\lim_{h\to0}\frac{1}{f^2(x)} \]
Como este último límite ya no depende de \( h \), resulta que
\[ y'= -f'(x)\cdot\frac{1}{f^2(x)} \]
Finalmente,
\[ y'=-\frac{f'(x)}{f^2(x)} \]
que es precisamente la fórmula que queríamos demostrar.
Demostración mediante la regla de la potencia
La regla de la función recíproca también puede obtenerse directamente a partir de la regla de la potencia.
Observemos que el recíproco de una función puede escribirse como una potencia de exponente negativo:
\[ \frac{1}{f(x)}=[f(x)]^{-1} \]
Por tanto,
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = \left([f(x)]^{-1}\right)' \]
Aplicando la regla de la potencia a una función compuesta,
\[ \frac{d}{dx}[f(x)]^n=n[f(x)]^{n-1}f'(x) \]
y tomando \( n=-1 \), obtenemos
\[ \frac{d}{dx}[f(x)]^{-1}=(-1)[f(x)]^{-2}f'(x) \]
\[ \frac{d}{dx}[f(x)]^{-1}=-[f(x)]^{-2}f'(x) \]
\[ \frac{d}{dx}[f(x)]^{-1}=-\frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \]
Esta expresión coincide exactamente con la fórmula de la derivada de la función recíproca.
Nota. Esta demostración muestra que la regla de la función recíproca no es una fórmula independiente de derivación. Se deduce directamente de la regla general de la potencia aplicada al exponente \( n=-1 \). Por ello, muchos manuales de cálculo la presentan como un caso particular de la derivación de una función compuesta elevada a una potencia.
Demostración mediante la regla del cociente
El mismo resultado puede obtenerse también utilizando la regla del cociente.
Partimos de la expresión
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)' \]
y definimos
\[ u(x)=1 \]
Entonces podemos escribir
\[ \left(\frac{u(x)}{f(x)}\right)' \]
Aplicando la regla del cociente, obtenemos
\[ \left(\frac{u(x)}{f(x)}\right)'=\frac{u'(x)f(x)-u(x)f'(x)}{[f(x)]^2} \]
Como \( u(x)=1 \) es una constante, se cumple que
\[ u'(x)=0 \]
Sustituyendo este valor en la fórmula:
\[ \left(\frac{u(x)}{f(x)}\right)'=\frac{0\cdot f(x)-u(x)\cdot f'(x)}{[f(x)]^2} \]
\[ \left(\frac{u(x)}{f(x)}\right)'=\frac{-u(x)\cdot f'(x)}{[f(x)]^2} \]
Y puesto que \( u(x)=1 \), obtenemos
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)'=\frac{-1\cdot f'(x)}{[f(x)]^2} \]
Al simplificar la expresión, llegamos a
\[ \left(\frac{1}{f(x)}\right)'=-\frac{f'(x)}{[f(x)]^2} \]
Con ello queda demostrada la fórmula.
