Derivada de una función elevada a otra función
Cuando tanto la base como el exponente dependen de la variable, la derivada de una función de la forma $$ y=[f(x)]^{g(x)} $$ se obtiene mediante la derivación logarítmica. La fórmula general es $$ D\left([f(x)]^{g(x)}\right)=[f(x)]^{g(x)}\left[g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right] $$ siempre que \(f(x)>0\) en el intervalo considerado y que las funciones \(f(x)\) y \(g(x)\) sean derivables.
Las funciones del tipo \([f(x)]^{g(x)}\) suelen generar dudas porque ni la base ni el exponente permanecen constantes. En estos casos no se puede aplicar directamente la regla habitual de las potencias. La herramienta adecuada es la derivación logarítmica, una técnica que permite transformar una potencia en un producto y simplificar considerablemente el cálculo.
La idea consiste en tomar el logaritmo natural de ambos miembros:
$$ \ln y=g(x)\ln f(x) $$
Gracias a esta transformación, la potencia desaparece y la expresión puede derivarse utilizando reglas conocidas, como la derivada del logaritmo y la regla del producto.
Por esta razón, la derivación logarítmica es el método estándar para calcular la derivada de funciones en las que tanto la base como el exponente dependen de la variable.
Ejemplo resuelto
Calcular la derivada de la función
$$ y=x^x $$
En este caso,
$$ f(x)=x $$
y
$$ g(x)=x $$
Sus derivadas son
$$ f'(x)=1 $$
$$ g'(x)=1 $$
Sustituyendo estos valores en la fórmula general:
$$ D(x^x) = x^x \left[ 1\cdot \ln x+\frac{x\cdot 1}{x} \right] $$
Al simplificar la expresión obtenemos
$$ D(x^x) = x^x(\ln x+1) $$
Este resultado es válido para \(x>0\), ya que el logaritmo natural \(\ln x\) solo está definido para valores positivos.
Ejemplo 2
Calcular la derivada de
$$ y=(x^2+1)^x $$
Esta función también tiene la forma \( [f(x)]^{g(x)} \), donde
$$ f(x)=x^2+1 $$
y
$$ g(x)=x $$
Las derivadas son
$$ f'(x)=2x $$
$$ g'(x)=1 $$
Aplicamos la fórmula:
$$D\left([f(x)]^{g(x)}\right) =[f(x)]^{g(x)}\left[g'(x)\ln[f(x)] +\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right]$$
Sustituyendo los valores conocidos:
$$ y' = (x^2+1)^x \left[ 1\cdot\ln(x^2+1) + \frac{x\cdot 2x}{x^2+1} \right] $$
y simplificando:
$$ y' = (x^2+1)^x \left[ \ln(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1} \right] $$
Como \(x^2+1\) es siempre positivo, el logaritmo \(\ln(x^2+1)\) está definido para cualquier número real. Por tanto, la fórmula es válida para todo \(x \in \mathbb{R}\).
Demostración de la fórmula
Partimos de la función
$$ y=[f(x)]^{g(x)} $$
Dado que tanto la base como el exponente dependen de \(x\), no podemos utilizar directamente la regla habitual de derivación de potencias.
Suponiendo que \(f(x)>0\), tomamos logaritmos naturales en ambos miembros:
$$ \ln y=\ln\left([f(x)]^{g(x)}\right) $$
Aplicando la identidad
$$ \ln(a^b)=b\ln a $$
obtenemos
$$ \ln y=g(x)\ln f(x) $$
Ahora derivamos ambos miembros respecto de \(x\):
$$ D[ \ln y ]= D[ g(x)\ln f(x) ] $$
El miembro izquierdo queda
$$ D[ \ln y ]=\frac{1}{y}y' $$
En el miembro derecho aplicamos la regla del producto:
$$ D[ g(x)\ln f(x) ] =g'(x)\ln f(x)+g(x) ( \ln f(x) )' $$
Como
$$ ( \ln f(x) )'=\frac{f'(x)}{f(x)} $$
resulta
$$ D[ g(x)\ln f(x) ] =g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} $$
Por tanto,
$$ \frac{1}{y}y' = g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} $$
o, de forma equivalente,
$$ \frac{y'}{y} = g'(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f'(x)}{f(x)} $$
Multiplicando ambos miembros por \(y\):
$$ y' = y\left[g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right] $$
Finalmente, sustituimos \(y=[f(x)]^{g(x)}\):
$$ y' = [f(x)]^{g(x)} \left[g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right] $$
Esta es la fórmula general para derivar una función elevada a otra función.
El caso particular de un exponente constante
Si el exponente es constante, la fórmula general se reduce a la conocida regla de derivación de una potencia de una función: $$ D[f(x)]^a = a[f(x)]^{a-1}f'(x) $$
Ejemplo
Calcular la derivada de
$$ y=(x^2+1)^3 $$
Aquí,
$$ f(x)=x^2+1 $$
y
$$ a=3 $$
Como el exponente es constante, aplicamos directamente la fórmula:
$$ D[f(x)]^a = a[f(x)]^{a-1}f'(x) $$
Sustituyendo los valores:
$$ y' = 3(x^2+1)^{3-1}f'(x) $$
$$ y' = 3(x^2+1)^2f'(x) $$
Y como
$$ f'(x)=2x $$
obtenemos
$$ y' = 3(x^2+1)^2(2x) $$
$$ y' = 6x(x^2+1)^2 $$
Esta es la derivada de la función.
Demostración
Si el exponente es una constante \(a\), entonces
$$ g(x)=a $$
y, por tanto,
$$ g'(x)=0 $$
Sustituyendo estos valores en la fórmula general:
$$ D[f(x)]^a = [f(x)]^a \left[ 0\cdot \ln f(x)+\frac{a f'(x)}{f(x)} \right] $$
$$ D[f(x)]^a = [f(x)]^a\frac{a f'(x)}{f(x)} $$
$$ D[f(x)]^a = a\frac{[f(x)]^a}{f(x)}f'(x) $$
Utilizando la identidad
$$ \frac{[f(x)]^a}{f(x)}=[f(x)]^{a-1} $$
obtenemos
$$ D[f(x)]^a = a[f(x)]^{a-1}f'(x) $$
que coincide con la regla clásica de derivación de una potencia de una función.
Nota. Si \(f(x)=x\), entonces \(f'(x)=1\), y la fórmula se reduce a la conocida regla de la potencia $$ D(x^a)=ax^{a-1} $$ para \(x>0\) cuando \(a\) es un número real arbitrario.
La misma idea puede extenderse a muchos otros tipos de funciones compuestas y constituye una de las aplicaciones más útiles de la derivación logarítmica.
