El límite de (1 - cos x) / x cuando x tiende a 0
Este límite notable afirma que el cociente entre \(1 - \cos x\) y \(x\) tiende a cero cuando \(x\) se aproxima a cero. $$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 $$
Este resultado es muy importante en el estudio de los límites de funciones trigonométricas. En muchos cálculos aparece la expresión \(1-\cos x\), y conocer este límite permite simplificar la evaluación de límites más complejos.
La idea que hay detrás es bastante intuitiva. Cuando \(x\) toma valores muy pequeños, la función \( \cos x \) es prácticamente igual a \(1\). Por esta razón, la diferencia \(1 - \cos x\) se vuelve muy pequeña en comparación con \(x\), y el cociente completo termina acercándose a cero.
Demostración
Si sustituimos directamente \(x = 0\) en la expresión, obtenemos una forma indeterminada.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = \frac{0}{0} $$
Para resolver esta indeterminación, multiplicamos y dividimos la expresión por \(1 + \cos x\).
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} $$
En el numerador aparece ahora una diferencia de cuadrados.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x \cdot (1 + \cos x)} $$
Recordando la identidad pitagórica de la trigonometría
$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$
podemos sustituir
$$ 1 - \cos^2 x = \sin^2 x $$
y la expresión del límite queda
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{x \cdot (1 + \cos x)} $$
Ahora reorganizamos el producto usando la propiedad asociativa.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \sin x \cdot \frac{1}{1 + \cos x} $$
Según el teorema del límite del producto, si existen los límites de los factores, el límite del producto es igual al producto de los límites. Por lo tanto, podemos calcular cada límite por separado cuando \(x \to 0\).
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \sin x \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x} $$
El primer límite es el conocido límite notable del seno.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
El segundo límite es
$$ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 $$
El tercer límite es
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1}{2} $$
Multiplicando los tres resultados obtenemos
$$ 1 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} = 0 $$
Por lo tanto, el límite inicial también es igual a cero.
$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0 $$
De este modo queda demostrada la afirmación.
Y así sucesivamente.
