Derivadas de orden par e impar
Las derivadas de orden par e impar son derivadas sucesivas de una función que se distinguen por el número de veces que se ha derivado la función original. Las derivadas de orden par son las de orden 2, 4, 6, etc., mientras que las de orden impar son las de orden 1, 3, 5, etc.
Una función puede derivarse varias veces, siempre que existan las derivadas sucesivas correspondientes. Esto permite estudiar su comportamiento con mayor detalle y obtener información que no proporciona por sí sola la primera derivada.
El procedimiento es sencillo. La primera derivada se obtiene derivando la función original. Si derivamos ese resultado, obtenemos la segunda derivada. Al derivar la segunda, calculamos la tercera, y así sucesivamente.
Para una función \(f(x)\), las cuatro primeras derivadas se representan de la siguiente manera:
- Primera derivada: \(f'(x)\), de orden impar.
- Segunda derivada: \(f''(x)\), de orden par.
- Tercera derivada: \(f'''(x)\), de orden impar.
- Cuarta derivada: \(f^{(4)}(x)\), de orden par.
Lo importante es recordar que el orden de una derivada indica cuántas veces se ha derivado la función original. No depende de que la derivada sea positiva, negativa o igual a cero.
Ejemplo de derivadas de orden par e impar
Veamos un ejemplo para comprender mejor esta clasificación.
Consideremos la función
\[ f(x)=x^4 \]
Vamos a calcular sus derivadas sucesivas, una por una.
La primera derivada es
\[ f'(x)=4x^3 \]
Es una derivada de orden impar porque hemos derivado una sola vez la función original.
Si volvemos a derivar, obtenemos la segunda derivada.
\[ f''(x)=12x^2 \]
Esta derivada es de orden par, ya que hemos derivado dos veces la función original.
Continuamos con la tercera derivada.
\[ f'''(x)=24x \]
Por último, calculamos la cuarta derivada.
\[ f^{(4)}(x)=24 \]
Como podemos observar, la primera y la tercera derivada son de orden impar, mientras que la segunda y la cuarta son de orden par.
Nota. En este ejemplo, la cuarta derivada es una constante. Si la derivamos nuevamente, obtenemos cero. Por tanto, todas las derivadas de orden superior a cuatro son idénticamente nulas.
¿Para qué sirven las derivadas de orden par e impar?
La distinción entre derivadas de orden par e impar resulta especialmente útil cuando queremos estudiar los puntos estacionarios de una función.
Un punto estacionario es un punto de la gráfica en el que la primera derivada se anula. En ese punto, la recta tangente a la gráfica es horizontal.
Sin embargo, una tangente horizontal no significa necesariamente que la función alcance un máximo o un mínimo.
Un punto estacionario puede corresponder a tres situaciones:
- Un máximo local, cuando el valor de la función es mayor o igual que los valores que toma en los puntos próximos.
- Un mínimo local, cuando el valor de la función es menor o igual que los valores que toma en los puntos próximos.
- Un punto que no es ni un máximo local ni un mínimo local, como sucede con un punto de inflexión estacionario.
En muchos casos, el criterio de la segunda derivada permite determinar si un punto estacionario es un máximo o un mínimo. Pero ¿qué ocurre cuando la segunda derivada también es cero?
En ese caso, podemos recurrir a las derivadas de orden superior.
Cómo identificar un máximo local, un mínimo local o un punto de inflexión
Supongamos que la primera derivada de una función se anula en \(x_0\).
\[ f'(x_0)=0 \]
Sabemos que \(x_0\) corresponde a un punto estacionario, pero todavía no podemos afirmar que sea un máximo o un mínimo.
Para averiguarlo, examinamos las derivadas sucesivas.
- Si la segunda derivada es distinta de cero en \(x_0\), su signo permite determinar si la función presenta un máximo local o un mínimo local.
- Si la segunda derivada también se anula en \(x_0\), calculamos la tercera derivada. Si esta también es cero, continuamos con las derivadas de orden superior hasta encontrar la primera que sea distinta de cero.
Si encontramos una primera derivada de orden superior que no se anula en \(x_0\), y se cumplen las condiciones de derivabilidad necesarias, su orden y su signo nos permiten clasificar el punto estacionario.
Este procedimiento se conoce como criterio de las derivadas de orden superior o criterio de la derivada de orden n.
Veamos los dos casos posibles.
1] La primera derivada no nula es de orden par
Supongamos que la primera derivada distinta de cero es de orden par, por ejemplo, la segunda, la cuarta o la sexta, y que todas las derivadas anteriores, a partir de la primera, se anulan en \(x_0\).
En estas condiciones, la función presenta un extremo local estricto en \(x_0\). Es decir, tiene un máximo local o un mínimo local.
Para saber de cuál se trata, basta con observar el signo de la primera derivada no nula.
- Si la derivada es positiva, la función tiene un mínimo local en \(x_0\).
- Si la derivada es negativa, la función tiene un máximo local en \(x_0\).
Por tanto, cuando la primera derivada no nula es de orden par, sabemos que existe un extremo local. Su signo nos indica si se trata de un máximo o de un mínimo.
2] La primera derivada no nula es de orden impar
Supongamos ahora que la primera derivada distinta de cero es de orden impar superior a uno, como la tercera o la quinta, y que todas las derivadas anteriores se anulan en \(x_0\).
En este caso, la función no presenta ni un máximo local ni un mínimo local en \(x_0\).
En su lugar, la gráfica presenta un punto de inflexión estacionario, también llamado punto de inflexión con tangente horizontal.
En ese punto, la recta tangente es horizontal, pero la función atraviesa el nivel \(f(x_0)\) sin cambiar el sentido de su variación. Además, la gráfica cambia de concavidad al pasar por el punto.
Esto explica por qué no todos los puntos estacionarios corresponden a máximos o mínimos.
Ejemplos resueltos
Vamos a aplicar el criterio de las derivadas de orden superior a tres funciones. Así podremos comprobar cómo el orden y el signo de la primera derivada no nula permiten identificar el comportamiento de una función cerca de un punto estacionario.
Ejemplo 1. Un mínimo local
Consideremos la función
\[ f(x)=x^4 \]
Queremos determinar qué tipo de punto estacionario presenta en \(x=0\).
Primero, calculamos sus derivadas sucesivas.
\[ f'(x)=4x^3 \]
\[ f''(x)=12x^2 \]
\[ f'''(x)=24x \]
\[ f^{(4)}(x)=24 \]
Al evaluar las derivadas en \(x=0\), comprobamos que las tres primeras son nulas.
\[ f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 \]
Sin embargo, la cuarta derivada es positiva.
\[ f^{(4)}(0)=24>0 \]
La primera derivada no nula es, por tanto, la cuarta, que es de orden par.
Como su valor es positivo, concluimos que la función presenta un mínimo local en \(x=0\).
De hecho, la función \(f(x)=x^4\) alcanza su mínimo absoluto en el origen de coordenadas, es decir, en el punto \((0,0)\) de su gráfica.
Ejemplo 2. Un máximo local
Consideremos ahora la función
\[ f(x)=-x^4 \]
Calculamos sus derivadas sucesivas.
\[ f'(x)=-4x^3 \]
\[ f''(x)=-12x^2 \]
\[ f'''(x)=-24x \]
\[ f^{(4)}(x)=-24 \]
Como en el ejemplo anterior, las tres primeras derivadas se anulan en \(x=0\).
\[ f'(0)=f''(0)=f'''(0)=0 \]
Pero esta vez la cuarta derivada es negativa.
\[ f^{(4)}(0)=-24<0 \]
La primera derivada no nula vuelve a ser de orden par, aunque ahora tiene signo negativo.
Por tanto, la función presenta un máximo local en \(x=0\).
De hecho, la función \(f(x)=-x^4\) alcanza su máximo absoluto en el origen de coordenadas, en el punto \((0,0)\) de su gráfica.
Si comparamos los dos ejemplos, observamos que en ambos la primera derivada no nula es la cuarta. La diferencia está en el signo: positivo en el primer caso y negativo en el segundo. Por eso, una función tiene un mínimo y la otra un máximo.
Ejemplo 3. Un punto de inflexión estacionario
Por último, consideremos la función
\[ f(x)=x^3 \]
Calculamos sus tres primeras derivadas.
\[ f'(x)=3x^2 \]
\[ f''(x)=6x \]
\[ f'''(x)=6 \]
En \(x=0\), tanto la primera como la segunda derivada se anulan.
\[ f'(0)=f''(0)=0 \]
Sin embargo, la tercera derivada es distinta de cero.
\[ f'''(0)=6 \]
La primera derivada no nula es la tercera, que es de orden impar.
Por tanto, la función no tiene ni un máximo local ni un mínimo local en \(x=0\).
En su lugar, presenta un punto de inflexión estacionario.
La gráfica de \(f(x)=x^3\) atraviesa el origen con una tangente horizontal. Al pasar por ese punto, cambia de concavidad.
Este ejemplo demuestra que una primera derivada igual a cero no implica necesariamente la existencia de un máximo o un mínimo.
¿Por qué las derivadas de orden par e impar dan resultados diferentes?
La explicación está relacionada con una propiedad fundamental de las potencias de exponente par e impar.
Cuando elevamos un número real a una potencia de exponente par positivo, el resultado siempre es mayor o igual que cero. Por ejemplo, consideremos la función
\[ f(x)=x^4 \]
Tanto si \(x\) es positivo como si es negativo, \(x^4\) es positivo siempre que \(x\ne 0\). En el origen, su valor es cero.
Las potencias de exponente impar se comportan de otra manera. Consideremos la función
\[ f(x)=x^3 \]
En este caso, el signo del resultado depende del signo de \(x\).
- Si \(x<0\), entonces \(x^3\) es negativo.
- Si \(x>0\), entonces \(x^3\) es positivo.
Esta diferencia ayuda a comprender por qué una función puede presentar un máximo, un mínimo o un punto de inflexión en un punto estacionario.
Podemos justificarlo matemáticamente mediante el teorema de Taylor.
Supongamos que las derivadas de orden inferior, desde la primera hasta la de orden \(n-1\), se anulan en \(x_0\), mientras que la derivada de orden \(n\) es distinta de cero.
Si la función es \(n\) veces derivable en un entorno de \(x_0\), el teorema de Taylor permite expresar su comportamiento local mediante el siguiente desarrollo, cuyo resto se representa utilizando la notación de Landau:
\[ f(x)-f(x_0)=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o\left((x-x_0)^n\right) \]
El primer término del segundo miembro es el término no constante dominante del desarrollo. Este término determina el signo de \(f(x)-f(x_0)\) cuando \(x\) está suficientemente cerca de \(x_0\), siempre que \(x\ne x_0\).
Si \(n\) es par, la potencia \((x-x_0)^n\) es positiva a ambos lados de \(x_0\). Por tanto, el término dominante mantiene el mismo signo a uno y otro lado del punto estacionario.
Ese signo depende de \(f^{(n)}(x_0)\).
- Si \(f^{(n)}(x_0)>0\), los valores de la función en los puntos suficientemente próximos, distintos de \(x_0\), son mayores que \(f(x_0)\). Por tanto, existe un mínimo local estricto.
- Si \(f^{(n)}(x_0)<0\), los valores de la función en los puntos suficientemente próximos, distintos de \(x_0\), son menores que \(f(x_0)\). Por tanto, existe un máximo local estricto.
En cambio, si \(n\) es impar, la potencia \((x-x_0)^n\) cambia de signo cuando \(x\) pasa de un lado al otro de \(x_0\).
Esto significa que, en cualquier entorno suficientemente pequeño del punto, la función toma valores tanto mayores como menores que \(f(x_0)\). Por esa razón, no puede haber un máximo ni un mínimo local.
Cuando \(n\) es impar y mayor que uno, la gráfica también cambia de concavidad en \(x_0\), por lo que aparece un punto de inflexión estacionario.
Para comprobarlo, podemos aplicar el desarrollo de Taylor a la segunda derivada, suponiendo que existen las derivadas necesarias en un entorno del punto. Su término dominante es proporcional a \((x-x_0)^{n-2}\), cuyo exponente es impar. Por tanto, la segunda derivada cambia de signo al atravesar \(x_0\).
Este es el fundamento matemático del criterio de las derivadas de orden superior. El orden par o impar de la primera derivada no nula permite distinguir un extremo local de un punto de inflexión, mientras que el signo de esa derivada aporta información adicional sobre el comportamiento de la función.
Diferencia entre derivadas de orden par y funciones pares
Para terminar, conviene aclarar una diferencia que puede generar confusión: una derivada de orden par no es lo mismo que una función par.
Aunque ambas expresiones contienen la palabra «par», describen propiedades matemáticas diferentes.
Una derivada es de orden par cuando se obtiene derivando la función original un número par de veces.
En cambio, una función par se define por una propiedad de simetría. Una función \(f(x)\) es par si cumple la condición
\[ f(-x)=f(x) \]
para todo \(x\) de su dominio, que debe ser simétrico respecto del origen.
Geométricamente, esto significa que la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje de ordenadas, es decir, del eje \(y\).
Ejemplo
Consideremos la función
\[ f(x)=x^3+x \]
Esta función es impar porque cumple la condición
\[ f(-x)=-f(x) \]
Calculemos ahora sus derivadas.
La primera derivada es
\[ f'(x)=3x^2+1 \]
La segunda derivada es
\[ f''(x)=6x \]
La segunda derivada es una derivada de orden par porque se obtiene derivando dos veces la función original.
Sin embargo, la función resultante \(f''(x)=6x\) es impar, ya que cumple la condición
\[ f''(-x)=-f''(x) \]
Por tanto, una derivada de orden par no tiene por qué ser una función par.
La diferencia fundamental es que el orden de derivación indica cuántas veces se ha derivado una función, mientras que la paridad de una función describe su simetría: respecto del eje de ordenadas en el caso de las funciones pares y respecto del origen de coordenadas en el de las funciones impares.
Son dos conceptos distintos, y esta diferencia también se aplica a las derivadas de cualquier orden.
