Ejercicio resuelto 3 de ecuaciones diferenciales
En este ejercicio resolveremos paso a paso la siguiente ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
$$ xy' - y = 0 $$
El primer paso consiste en despejar la derivada \(y'\):
$$ y' = \frac{y}{x} $$
Esta es una ecuación diferencial de variables separables, ya que puede escribirse en la forma \(y' = f(x)g(y)\), con \(f(x)=1/x\) y \(g(y)=y\).
Expresamos la derivada utilizando la notación de Leibniz:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} $$
Ahora separamos las variables, reuniendo todos los términos que contienen \(y\) en el miembro izquierdo y los que contienen \(x\) en el derecho:
$$ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} $$
Una vez separadas las variables, integramos ambos miembros:
$$ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x} $$
$$ \int \frac{1}{y} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx $$
La integral del miembro izquierdo es:
$$ \log|y| + c_1 = \int \frac{1}{x} \, dx $$
La integral del miembro derecho es:
$$ \log|y| + c_1 = \log|x| + c_2 $$
Como ambas constantes son arbitrarias, podemos sustituirlas por una única constante definida como \(c_3=c_2-c_1\):
$$ \log|y| = \log|x| + c_3 $$
Llevamos los logaritmos al mismo miembro:
$$ \log|y| - \log|x| = c_3 $$
Aplicando la identidad logarítmica \(\log|y|-\log|x|=\log\left|\frac{y}{x}\right|\), obtenemos:
$$ \log\left|\frac{y}{x}\right| = c_3 $$
Para eliminar el logaritmo, elevamos ambos miembros como exponentes de \(e\):
$$ e^{\log\left|\frac{y}{x}\right|} = e^{c_3} $$
$$ \left|\frac{y}{x}\right| = e^{c_3} $$
Dado que \(e^{c_3}\) es una constante positiva, el signo puede incorporarse a una nueva constante real \(c\):
$$ \frac{y}{x} = c $$
Finalmente, despejamos \(y\) y obtenemos la solución general:
$$ y = cx $$
Resolución mediante una ecuación lineal
La misma ecuación también puede resolverse tratándola como una ecuación diferencial lineal de primer orden.
Partimos nuevamente de la ecuación inicial:
$$ xy' - y = 0 $$
Dividimos ambos miembros entre \(x\):
$$ \frac{xy' - y}{x} = \frac{0}{x} $$
$$ y' - \frac{y}{x} = 0 $$
La ecuación queda en la forma estándar \(y' + a(x)y = b(x)\), donde:
$$ a(x)=-\frac{1}{x}, \qquad b(x)=0 $$
Aplicamos la fórmula del método del factor integrante:
$$ y = e^{-\int a(x)\, dx} \cdot \left[ \int b(x) \cdot e^{\int a(x)\, dx} \, dx + c \right] $$
Sustituimos las funciones \(a(x)\) y \(b(x)\):
$$ y = e^{-\int -\frac{1}{x} \, dx} \cdot \left[ \int 0 \cdot e^{\int -\frac{1}{x} \, dx} \, dx + c \right] $$
Como el segundo término es nulo, resulta:
$$ y = e^{\int \frac{1}{x} \, dx} \cdot c $$
Sabemos que:
$$ \int \frac{1}{x}\,dx=\log|x| $$
Por tanto:
$$ y = e^{\log|x|} \cdot c $$
Y, dado que \(e^{\log|x|}=|x|\), el valor absoluto puede absorberse en la constante arbitraria:
$$ y = x \cdot c $$
Así recuperamos la misma solución general:
$$ y = cx $$
Como puede comprobarse, ambos procedimientos conducen exactamente al mismo resultado.
Y así sucesivamente.
