Límite de 1 menos cos x sobre x al cuadrado cuando x tiende a 0
Este límite notable describe cómo se comporta la función coseno cuando \( x \) tiende a cero. \[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]
El resultado indica que, cerca de cero, la expresión \( 1 - \cos x \) se comporta prácticamente como una cantidad proporcional a \( x^2 \). En particular, para valores pequeños de \( x \), puede usarse la aproximación \( 1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} \).
Este límite es muy útil en el cálculo de otros límites, en la simplificación de expresiones y en el estudio del comportamiento local de las funciones trigonométricas alrededor del origen.
Demostración
Partimos del límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \]
Se trata de una forma indeterminada, ya que al sustituir directamente \( x = 0 \) obtenemos:
\[ \frac{1 - \cos 0}{0^2} = \frac{0}{0} \]
Para resolverla, multiplicamos y dividimos por \( 1 + \cos x \):
\[ \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \]
Aplicamos el producto notable:
\[ \frac{(1 - \cos x)(1 + \cos x)}{x^2(1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{x^2(1 + \cos x)} \]
Recordando la identidad \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \), obtenemos:
\[ \frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} \]
Ahora reescribimos la expresión como un producto:
\[ \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \]
En este punto usamos dos resultados conocidos:
- El límite notable del seno:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \) - El segundo factor se evalúa por sustitución directa:
\( \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos x} = \frac{1}{2} \)
Por tanto, el límite queda:
\[ 1^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Así obtenemos el resultado final:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Demostración alternativa
Existe otra forma de llegar al mismo resultado, utilizando una identidad trigonométrica.
Partimos de nuevo del límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \]
Usamos la identidad de ángulo doble:
\[ 1 - \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) \]
Sustituimos:
\[ \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{x^2} \]
Reescribimos \( x^2 \) como \( 4 \left( \frac{x}{2} \right)^2 \):
\[ \frac{2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)}{4 \left( \frac{x}{2} \right)^2} \]
Simplificando:
\[ \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} \right)^2 \]
Aplicamos de nuevo el límite notable del seno:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin \left( \frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}} = 1 \]
Por tanto:
\[ \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \]
Concluimos otra vez que:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Como se quería demostrar.
