Concavidad y convexidad de una función

Sea \( y=f(x) \) una función definida y derivable en un intervalo \( I \). En cada punto interior \(x_0 \), la gráfica de la función tiene una recta tangente, que denotaremos por \(y=t(x) \). La posición de la gráfica con respecto a esta recta permite identificar de inmediato si la función es convexa (cóncava hacia arriba) o cóncava (cóncava hacia abajo).

• Función convexa o cóncava hacia arriba
  Una función es convexa, o cóncava hacia arriba, en el punto \(x_0 \) si existe un entorno abierto \(I_{x_0} \) de \(x_0 \) tal que, para todo punto del entorno distinto de \(x_0 \), la gráfica se sitúa por encima de la recta tangente. En términos matemáticos: \[ f(x)>t(x) \qquad \forall x \in I_{x_0}, \ x\neq x_0 \] En consecuencia, la recta tangente queda siempre por debajo de la gráfica. Si esta propiedad se cumple en todos los puntos de un intervalo, la función es convexa en dicho intervalo.
  
• Función cóncava o cóncava hacia abajo
  Una función es cóncava, o cóncava hacia abajo, en el punto \(x_0 \) si existe un entorno abierto \(I_{x_0} \) de \(x_0 \) tal que, para todo punto del entorno distinto de \(x_0 \), la gráfica se sitúa por debajo de la recta tangente. Es decir: \[ f(x)<t(x) \qquad \forall x \in I_{x_0}, \ x\neq x_0 \] En este caso, la recta tangente queda por encima de la gráfica. Si esta condición se verifica en todo un intervalo, la función es cóncava en dicho intervalo.
  

En términos intuitivos, la concavidad describe la forma en que se curva la gráfica de una función. Cuando la curva se abre hacia arriba, la función es convexa. Cuando se abre hacia abajo, la función es cóncava.

Desde un punto de vista geométrico, basta con observar la posición de la gráfica respecto de su recta tangente para identificar el tipo de concavidad.

Un ejemplo práctico

Consideremos la función

\[ f(x)=x^2 \]

En el punto \(x_0=0\), la recta tangente coincide con el eje \(x\), por lo que su ecuación es

\[ y=0 \]

En un entorno del origen se cumple que

\[ x^2>0 \qquad (x\neq0) \]

Como la gráfica de la parábola permanece por encima de la recta tangente, la función es convexa, es decir, cóncava hacia arriba.

Ejemplo 2

Consideremos ahora la función

\[ f(x)=-x^2 \]

En el punto \(x_0=0\), la recta tangente vuelve a ser

\[ y=0 \]

Para cualquier punto distinto de cero próximo al origen se verifica que

\[ -x^2<0 \]

En este caso, la gráfica queda por debajo de la recta tangente. Por tanto, la función es cóncava, o cóncava hacia abajo.

Cómo determinar la concavidad y la convexidad

La interpretación geométrica es muy sencilla. Solo hay que comparar la gráfica de la función con su recta tangente.

• Si la gráfica queda por encima de la recta tangente, la función es convexa.
• Si la gráfica queda por debajo de la recta tangente, la función es cóncava.

Aunque este criterio es fácil de entender desde un punto de vista geométrico, rara vez se utiliza en la práctica, ya que obligaría a repetir la comparación en todos los puntos de la función.

Por este motivo, la concavidad se estudia casi siempre mediante un criterio analítico basado en la segunda derivada.

Concavidad y segunda derivada

En otras palabras, cuando la segunda derivada es positiva, la pendiente de la función aumenta. Cuando es negativa, la pendiente disminuye. Esta relación nos permite estudiar la concavidad sin necesidad de dibujar la gráfica.

Además, el análisis del signo de la segunda derivada ayuda a localizar posibles puntos de inflexión, es decir, puntos en los que la gráfica cambia de concavidad, pasando de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo, o viceversa.

Ejemplo 1: Una función con concavidad hacia arriba

Veamos cómo funciona este criterio con una función sencilla:

\[ f(x)=x^2 \]

Para determinar su concavidad, no hace falta representar la gráfica. Basta con calcular sus derivadas.

Primero obtenemos la primera derivada:

\[ f'(x)=2x \]

Después derivamos una vez más para hallar la segunda derivada:

\[ f''(x)=2 \]

El resultado es una constante positiva. Esto significa que la segunda derivada es mayor que cero para cualquier valor real de \(x\):

\[ f''(x)=2>0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]

Por tanto, la gráfica de esta función tiene concavidad hacia arriba en todo su dominio.

Nota. Este resultado coincide con la forma de la parábola \(y=x^2 \), cuyas ramas se abren hacia arriba. Si trazamos una recta tangente en cualquier punto de la parábola, veremos que queda por debajo de la curva y solo coincide con ella en el punto de tangencia.

Ejemplo 2: Una función con concavidad hacia abajo

Consideremos ahora una función muy parecida a la anterior, pero con signo negativo:

\[ f(x)=-x^2 \]

Calculamos primero su primera derivada:

\[ f'(x)=-2x \]

Derivamos de nuevo:

\[ f''(x)=-2 \]

Esta vez, la segunda derivada también es constante, pero su valor es negativo para cualquier número real \(x\):

\[ f''(x)=-2<0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]

Como la segunda derivada es negativa en todo el dominio, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en todos sus puntos.

Nota. La parábola \( y=-x^2 \) tiene las ramas abiertas hacia abajo. En este caso, la recta tangente en cualquier punto queda por encima de la curva y solo coincide con ella en el punto de tangencia.

Estos dos ejemplos muestran una propiedad esencial: el signo de la segunda derivada nos indica hacia dónde se orienta la concavidad de una función.

Para estudiar funciones más complejas, seguimos el mismo procedimiento. Calculamos la segunda derivada, determinamos en qué intervalos es positiva o negativa y utilizamos esa información para establecer la concavidad de la gráfica.

Si la función es continua en un punto y su gráfica cambia de concavidad al atravesarlo, ese punto se denomina punto de inflexión.

Demostración del criterio de la segunda derivada para determinar la concavidad

Ya sabemos cómo utilizar la segunda derivada para estudiar la concavidad. Pero ¿por qué funciona este criterio? ¿Qué relación existe entre el signo de la segunda derivada y la posición de la curva respecto a su recta tangente?

Para responder a estas preguntas, vamos a demostrar el criterio paso a paso.

Sea \(y=f(x)\) una función cuya segunda derivada es continua en un intervalo abierto \(I\), y sea \(x_0\) un punto interior de ese intervalo.

Queremos demostrar dos afirmaciones:

• Si \(f''(x_0)>0\), la gráfica tiene concavidad hacia arriba en un entorno de \(x_0\).
• Si \(f''(x_0)<0\), la gráfica tiene concavidad hacia abajo en un entorno de \(x_0\).

La idea consiste en comparar la gráfica de la función con su recta tangente. Para ello, construiremos una función auxiliar que nos permitirá determinar cuál de las dos queda por encima de la otra.

Comencemos por el punto de la gráfica cuyas coordenadas son:

\[ P=(x_0,f(x_0)) \]

La ecuación de la recta tangente a la gráfica en ese punto es:

\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \]

Despejamos \(y\):

\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \]

Definimos ahora la función \( t(x)=y \), que nos da la ordenada de la recta tangente para cada valor de \(x\):

\[ t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \]

Así podemos comparar, para un mismo valor de \(x\), la altura de la gráfica de \(f\) con la de su recta tangente.

Introducimos una función auxiliar \(g(x)\), definida como la diferencia entre ambas ordenadas:

\[ g(x)=f(x)-t(x) \]

Esta diferencia nos permitirá saber si la gráfica de la función está por encima o por debajo de la tangente.

Sustituimos la expresión \( t(x) =f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \):

\[ g(x)=f(x)-[f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)] \]

Eliminamos los paréntesis:

\[ g(x)=f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0) \]

Por las hipótesis del teorema, la función \(g(x)\) es dos veces derivable.

Calculamos su primera derivada:

\[ g'(x)=f'(x)-f'(x_0) \]

Ahora derivamos de nuevo respecto de \(x\):

\[ g''(x)=f''(x) - \frac{d}{dx}[f'(x_0)] \]

Observemos que \(x_0\) es un valor fijo. Por tanto, \(f'(x_0)\) es una constante respecto de \(x\), y su derivada es cero:

\[ \frac{d}{dx}[f'(x_0)]=0 \]

En consecuencia:

\[ g''(x)=f''(x) - 0 \]

Y obtenemos:

\[ g''(x)=f''(x)  \]

Esta igualdad es fundamental: la función auxiliar y la función original tienen la misma segunda derivada.

Veamos ahora qué ocurre en el punto \(x_0\).

La gráfica de la función y su recta tangente pasan por el mismo punto \(P\). Por eso, la diferencia entre sus ordenadas es cero:

\[ g(x_0)=0 \]

Además, como la recta es tangente a la gráfica en \(P\), ambas tienen la misma pendiente en \(x_0\):

\[ f'(x_0)=t'(x_0) \]

Por tanto, la primera derivada de su diferencia también es cero:

\[ g'(x_0)=f'(x_0)-t'(x_0)=0 \]

Hemos obtenido dos condiciones importantes:

• \( g(x_0)=0 \): la gráfica de la función y su recta tangente pasan por el mismo punto de abscisa \(x_0\).
• \( g'(x_0)=0 \): la función auxiliar tiene un punto estacionario en \(x_0\).

Con estas dos condiciones podemos estudiar el comportamiento de \(g(x)\) cerca de \(x_0\). En particular, veremos si tiene un mínimo o un máximo local y qué implica eso para la posición de la gráfica respecto a la tangente.

1] Primer caso: Segunda derivada positiva

Supongamos que la segunda derivada de la función es positiva en \(x_0\):

\[ f''(x_0)>0 \]

Recordemos que la primera derivada de la función auxiliar es:

\[ g'(x_0)=f'(x_0)-t'(x_0) \]

Al derivar una vez más, obtenemos:

\[ g''(x_0)=f''(x_0)-t''(x_0) \]

La función \( t(x) \) es afín, ya que representa una recta. Por eso, su primera derivada \( t'(x) \) es constante y su segunda derivada es cero:

\[ t''(x_0)=0 \]

Sustituimos este resultado:

\[ g''(x_0)=f''(x_0)-0 \]

De donde se obtiene:

\[ g''(x_0)=f''(x_0) \]

Sabemos, además, que \(g''(x)=f''(x)\). Como la segunda derivada es continua, se cumple:

\[ \lim_{x\to x_0}g''(x)=g''(x_0)=f''(x_0)>0 \]

Partimos de la hipótesis \( f''(x_0)>0 \). Gracias a la continuidad, podemos asegurar que \(g''(x)\) seguirá siendo positiva en un entorno suficientemente pequeño de \(x_0\).

Por tanto, existe un entorno \(I_{x_0}\) en el que:

\[ g''(x)>0 \]

¿Qué significa este resultado?

Significa que la primera derivada \(g'(x)\) es estrictamente creciente en todo ese entorno, porque su derivada \(g''(x)\) es positiva.

Además, sabemos que \(g'(x_0)=0\). Por tanto, al ser \(g'(x)\) estrictamente creciente, se cumple:

\[ g'(x)<g'(x_0)=0 \quad \text{si }x<x_0 \]

\[ g'(x)>g'(x_0)=0 \quad \text{si }x>x_0 \]

Es decir, la primera derivada es negativa a la izquierda de \(x_0\) y positiva a su derecha, dentro del entorno considerado.

Podemos resumirlo así:

\[ g'(x)<0 \quad \text{si }x<x_0 \]

\[ g'(x)>0 \quad \text{si }x>x_0 \]

Esto nos dice que \(g(x)\) decrece antes de llegar a \(x_0\) y crece después de atravesarlo.

Por el criterio de la primera derivada para determinar extremos relativos, la función auxiliar tiene un mínimo local estricto en \(x_0\).

Recordemos también que:

\[ g(x_0)=0 \]

Como \(x_0\) es un mínimo local estricto, los valores de \(g(x)\) en los puntos suficientemente próximos a \(x_0\), distintos del propio \(x_0\), son mayores que cero:

\[ g(x)>g(x_0)=0 \]

Es decir:

\[ g(x)>0 \]

Ahora recuperamos la definición de la función auxiliar:

\[ g(x)=f(x)-t(x) \]

Sustituimos esta expresión en la desigualdad:

\[ f(x)-t(x)>0 \]

Por tanto:

\[ f(x)>t(x) \]

Esta desigualdad tiene una interpretación geométrica muy clara: la gráfica de la función queda por encima de su recta tangente en las proximidades de \(x_0\), salvo en el punto de tangencia, donde ambas coinciden.

Además, como \(f''(x)\) es positiva en todo el entorno considerado, la función es estrictamente convexa en ese intervalo. Por tanto, su gráfica tiene concavidad hacia arriba.

Hemos demostrado que, si \(f''(x_0)>0\), la gráfica presenta concavidad hacia arriba en un entorno de \(x_0\).

2] Segundo caso: Segunda derivada negativa

Estudiemos ahora qué ocurre cuando la segunda derivada es negativa en \(x_0\):

\[ f''(x_0)<0 \]

De los cálculos anteriores sabemos que:

\[ g''(x_0) = f''(x_0)  \]

Como \( f''(x_0)<0 \), se deduce que:

\[ g''(x_0) = f''(x_0) < 0   \]

Por tanto:

\[ g''(x_0)  < 0   \]

La continuidad de la segunda derivada garantiza que \(g''(x)\) seguirá siendo negativa en un entorno \(I_{x_0}\) suficientemente pequeño de \(x_0\).

En todo ese entorno se cumple:

\[ g''(x)=f''(x)<0 \]

Cuando la segunda derivada es negativa, la primera derivada \(g'(x)\) es estrictamente decreciente.

Como \(g'(x_0)=0\), obtenemos:

\[ g'(x)>g'(x_0)=0 \quad \text{si }x<x_0 \]

\[ g'(x)<g'(x_0)=0 \quad \text{si }x>x_0 \]

Esto significa que \(g'(x)\) es positiva a la izquierda de \(x_0\) y negativa a su derecha, dentro del entorno considerado.

Podemos expresarlo de forma más sencilla:

\[ g'(x)>0 \quad \text{si }x<x_0 \]

\[ g'(x)<0 \quad \text{si }x>x_0 \]

Por tanto, \(g(x)\) crece antes de llegar a \(x_0\) y decrece después de atravesarlo.

Aplicando el criterio de la primera derivada para determinar extremos relativos, concluimos que la función auxiliar tiene un máximo local estricto en \(x_0\).

Además, sabemos que:

\[ g(x_0)=0 \]

Como \(x_0\) es un máximo local estricto, los valores de \(g(x)\) en los puntos suficientemente próximos a \(x_0\), distintos del propio \(x_0\), deben ser menores que cero:

\[ g(x)<g(x_0)=0 \]

Es decir:

\[ g(x) < 0 \]

Recordemos que la función auxiliar se define como:

\[ g(x)=f(x)-t(x) \]

Sustituimos esta expresión:

\[ f(x)-t(x)<0 \]

Por tanto:

\[ f(x)<t(x) \]

Esta desigualdad nos indica que la gráfica de la función queda por debajo de su recta tangente en las proximidades de \(x_0\), excepto en el punto de tangencia, donde ambas coinciden.

Además, como \(f''(x)\) es negativa en todo el entorno considerado, la función es estrictamente cóncava en ese intervalo. En consecuencia, su gráfica tiene concavidad hacia abajo.

Hemos demostrado así que, si \(f''(x_0)<0\), la gráfica presenta concavidad hacia abajo en un entorno de \(x_0\).

Con esto queda completada la demostración del criterio de la segunda derivada para determinar la concavidad en ambos casos.

La conclusión es sencilla: el signo de la segunda derivada indica cómo cambia la pendiente de la recta tangente. Si la segunda derivada es positiva, la pendiente aumenta y la gráfica tiene concavidad hacia arriba. Si es negativa, la pendiente disminuye y la gráfica tiene concavidad hacia abajo.

Este criterio nos permite estudiar la forma de una gráfica sin necesidad de dibujarla. Por eso, la segunda derivada es una de las herramientas más importantes del cálculo diferencial para analizar el comportamiento de las funciones.

Criterio de las derivadas sucesivas para estudiar la concavidad

Este criterio me permite estudiar la concavidad de una función cerca de un punto donde la segunda derivada se anula, sin tener que analizar directamente el signo de \(f''(x)\) a ambos lados.

Ejemplo

Considero la función:

\[ f(x)=x^4+2x \]

Para estudiar su concavidad, comienzo calculando las dos primeras derivadas:

\[ f'(x)=4x^3+2,\qquad f''(x)=12x^2 \]

La segunda derivada se anula únicamente en \(x_0=0\). ¿Qué ocurre con la concavidad cerca de este punto? Para averiguarlo, calculo las dos derivadas siguientes:

\[ f'''(x)=24x,\qquad f^{(4)}(x)=24 \]

Al evaluarlas en \(x_0=0\), compruebo que la tercera derivada también se anula, mientras que la cuarta es positiva:

\[ f''(0)=f'''(0)=0,\qquad f^{(4)}(0)=24>0 \]

La cuarta derivada es la primera derivada de orden igual o superior a dos que no se anula en \(x_0=0\). Su orden es par y su valor es positivo.

Por el criterio de las derivadas sucesivas, concluyo que la gráfica es cóncava hacia arriba a ambos lados de \(0\), al menos en un entorno del punto. Como no cambia de concavidad, \((0,0)\) no es un punto de inflexión.

¿Se mantiene esta concavidad en todo el dominio? Para comprobarlo, vuelvo a examinar la segunda derivada:

\[ f''(x)=12x^2>0\qquad \text{para todo }x\neq 0 \]

Como la segunda derivada es positiva en todos los puntos salvo en \(x=0\), donde se anula, concluyo que la función es cóncava hacia arriba en todo \(\mathbb{R}\). Por tanto, que la segunda derivada sea cero en un punto aislado no impide que la función sea convexa en todo su dominio.

Este mismo procedimiento puede aplicarse a cualquier otra función que cumpla las hipótesis del criterio.