Concavidad y convexidad de una función
Sea \( y=f(x) \) una función definida y derivable en un intervalo \( I \). En cada punto interior \(x_0 \), la gráfica de la función tiene una recta tangente, que denotaremos por \(y=t(x) \). La posición de la gráfica con respecto a esta recta permite identificar de inmediato si la función es convexa (cóncava hacia arriba) o cóncava (cóncava hacia abajo).
- Función convexa o cóncava hacia arriba
Una función es convexa, o cóncava hacia arriba, en el punto \(x_0 \) si existe un entorno abierto \(I_{x_0} \) de \(x_0 \) tal que, para todo punto del entorno distinto de \(x_0 \), la gráfica se sitúa por encima de la recta tangente. En términos matemáticos: \[ f(x)>t(x) \qquad \forall x \in I_{x_0}, \ x\neq x_0 \] En consecuencia, la recta tangente queda siempre por debajo de la gráfica. Si esta propiedad se cumple en todos los puntos de un intervalo, la función es convexa en dicho intervalo.
- Función cóncava o cóncava hacia abajo
Una función es cóncava, o cóncava hacia abajo, en el punto \(x_0 \) si existe un entorno abierto \(I_{x_0} \) de \(x_0 \) tal que, para todo punto del entorno distinto de \(x_0 \), la gráfica se sitúa por debajo de la recta tangente. Es decir: \[ f(x)<t(x) \qquad \forall x \in I_{x_0}, \ x\neq x_0 \] En este caso, la recta tangente queda por encima de la gráfica. Si esta condición se verifica en todo un intervalo, la función es cóncava en dicho intervalo.
En términos intuitivos, la concavidad describe la forma en que se curva la gráfica de una función. Cuando la curva se abre hacia arriba, la función es convexa. Cuando se abre hacia abajo, la función es cóncava.
Desde un punto de vista geométrico, basta con observar la posición de la gráfica respecto de su recta tangente para identificar el tipo de concavidad.
Un ejemplo práctico
Consideremos la función
\[ f(x)=x^2 \]
En el punto \(x_0=0\), la recta tangente coincide con el eje \(x\), por lo que su ecuación es
\[ y=0 \]
En un entorno del origen se cumple que
\[ x^2>0 \qquad (x\neq0) \]
Como la gráfica de la parábola permanece por encima de la recta tangente, la función es convexa, es decir, cóncava hacia arriba.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la función
\[ f(x)=-x^2 \]
En el punto \(x_0=0\), la recta tangente vuelve a ser
\[ y=0 \]
Para cualquier punto distinto de cero próximo al origen se verifica que
\[ -x^2<0 \]
En este caso, la gráfica queda por debajo de la recta tangente. Por tanto, la función es cóncava, o cóncava hacia abajo.
Cómo determinar la concavidad y la convexidad
La interpretación geométrica es muy sencilla. Solo hay que comparar la gráfica de la función con su recta tangente.
- Si la gráfica queda por encima de la recta tangente, la función es convexa.
- Si la gráfica queda por debajo de la recta tangente, la función es cóncava.
Aunque este criterio es fácil de entender desde un punto de vista geométrico, rara vez se utiliza en la práctica, ya que obligaría a repetir la comparación en todos los puntos de la función.
Por este motivo, la concavidad se estudia casi siempre mediante un criterio analítico basado en la segunda derivada.
Relación entre la concavidad, la convexidad y la segunda derivada
Si una función es dos veces derivable, el signo de su segunda derivada permite determinar de forma inmediata la concavidad de la gráfica en un intervalo \(I\).
- Si \(f''(x)>0\) para todo \(x\in I\), la función es convexa.
- Si \(f''(x)<0\) para todo \(x\in I\), la función es cóncava.
Este es el procedimiento que se emplea habitualmente en cálculo diferencial, ya que permite determinar de manera rápida y rigurosa los intervalos de concavidad y convexidad, además de facilitar la localización de los puntos de inflexión.
Ejemplo
Consideremos la función
\[ f(x)=x^2 \]
Calculamos primero la primera derivada:
\[ f'(x)=2x \]
Después calculamos la segunda derivada:
\[ f''(x)=2 \]
Como la segunda derivada es constante y positiva para todo \(x\), se cumple que
\[ f''(x)=2>0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]
Por tanto, la función es convexa en todo su dominio.
Nota. Este resultado coincide con la forma característica de la parábola \(y=x^2\), que se abre hacia arriba. En todos sus puntos, la recta tangente queda por debajo de la curva.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la función
\[ f(x)=-x^2 \]
Calculamos la primera derivada:
\[ f'(x)=-2x \]
Y, a continuación, la segunda derivada:
\[ f''(x)=-2 \]
Como la segunda derivada es constante y negativa para todo \(x\), se obtiene
\[ f''(x)=-2<0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} \]
En consecuencia, la función es cóncava en todo su dominio.
Nota. Este resultado concuerda con la gráfica de la parábola \(y=-x^2\), que se abre hacia abajo. En todos sus puntos, la recta tangente queda por encima de la curva.
En general, para determinar la concavidad o convexidad de una función basta con calcular la segunda derivada y estudiar su signo en cada intervalo del dominio.
Cuando la segunda derivada cambia de signo, o deja de existir, conviene analizar ese punto con mayor detalle, ya que podría tratarse de un punto de inflexión.
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