Criterio de las derivadas sucesivas para clasificar extremos relativos y puntos de inflexión
El criterio de las derivadas sucesivas permite determinar si un punto estacionario de una función es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de inflexión con tangente horizontal.
Considero una función \(y=f(x)\) con derivadas continuas hasta el orden \(n\) en un intervalo abierto. Supongo que, en un punto interior \(x_0\), todas las derivadas desde la primera hasta la de orden \(n-1\) son iguales a cero:
\[ f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \]
Si la derivada de orden \(n\), con \(n\geq 2\), es distinta de cero,
\[ f^{(n)}(x_0)\neq 0 \]
puedo clasificar el punto estacionario según el orden y el signo de esa derivada:
- Si \(n\) es par, la función tiene un máximo relativo estricto en \(x_0\) cuando \(f^{(n)}(x_0)<0\), y un mínimo relativo estricto cuando \(f^{(n)}(x_0)>0\).
- Si \(n\) es impar, la gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en \(x_0\). La función es estrictamente decreciente en un entorno del punto si \(f^{(n)}(x_0)<0\), y estrictamente creciente si \(f^{(n)}(x_0)>0\).
Este criterio resulta especialmente útil cuando el criterio de la segunda derivada no permite saber si un punto estacionario es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión.
Para entender cómo funciona, parto de una función \(f(x)\) y de un punto estacionario \(x_0\), donde la primera derivada es igual a cero.
\[ f'(x_0)=0 \]
En ese punto, la gráfica tiene una tangente horizontal. Sin embargo, una tangente horizontal no significa necesariamente que la función alcance un máximo o un mínimo relativo. También puede aparecer en un punto de inflexión.
Normalmente, para distinguir estas posibilidades, utilizo el criterio de la segunda derivada. Si \(f''(x_0)>0\), la función tiene un mínimo relativo estricto. Si \(f''(x_0)<0\), tiene un máximo relativo estricto.
¿Qué ocurre si la segunda derivada también es igual a cero?
En ese caso, el criterio de la segunda derivada no es concluyente. Para continuar el estudio, calculo las derivadas sucesivas hasta encontrar la primera que sea distinta de cero en el punto estacionario.
Una vez encontrada, solo tengo que comprobar dos cosas: si su orden es par o impar y si su valor es positivo o negativo.
- Derivada de orden par: Si la primera derivada no nula es la cuarta, la sexta o cualquier otra de orden par, la función tiene un extremo relativo estricto. Si esa derivada es positiva, se trata de un mínimo relativo; si es negativa, de un máximo relativo.
- Derivada de orden impar: Si la primera derivada no nula es la tercera, la quinta, la séptima o cualquier otra de orden impar, la gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal. Si esa derivada es positiva, la función es estrictamente creciente en un entorno del punto; si es negativa, es estrictamente decreciente.
Nota. Si todas las derivadas evaluadas en el punto estacionario son iguales a cero, el criterio de las derivadas sucesivas no permite llegar a una conclusión. En ese caso, puedo estudiar el signo de la primera derivada a ambos lados del punto para comprobar si existe un máximo o un mínimo relativo, o si no hay ningún extremo.
Ejemplo resuelto: cómo encontrar un mínimo relativo
Considero la función
\[ f(x)=x^4 \]
Empiezo calculando la primera derivada.
\[ f'(x)=4x^3 \]
La derivada se anula en \(x_0=0\). Por tanto, la función tiene un punto estacionario en ese valor.
Ahora calculo la segunda derivada.
\[ f''(x)=12x^2 \]
La segunda derivada también se anula en \(x_0=0\). Por eso, el criterio de la segunda derivada no me permite determinar qué tipo de punto estacionario es.
Continúo con la tercera derivada.
\[ f'''(x)=24x \]
Como también se anula en \(x_0=0\), calculo la cuarta derivada.
\[ f^{(4)}(x)=24 \]
Esta es la primera derivada que no se anula en \(x_0=0\). Además, su valor es positivo.
\[ f^{(4)}(0)=24>0 \]
Como la primera derivada no nula es de orden par y positiva, concluyo que la función tiene un mínimo relativo estricto en \(x_0=0\).
Ejemplo 2: cómo encontrar un máximo relativo
Ahora considero la función
\[ f(x)=-x^4 \]
Calculo sus derivadas sucesivas.
\[ \begin{aligned} f'(x)&=-4x^3\\ f''(x)&=-12x^2\\ f'''(x)&=-24x\\ f^{(4)}(x)&=-24 \end{aligned} \]
En \(x_0=0\), las tres primeras derivadas son iguales a cero. Sin embargo, la cuarta derivada es negativa.
\[ f^{(4)}(0)=-24<0 \]
La primera derivada no nula es, por tanto, de orden par y tiene un valor negativo.
Aplicando el criterio de las derivadas sucesivas, concluyo que la función tiene un máximo relativo estricto en \(x_0=0\).
Ejemplo 3: cómo encontrar un punto de inflexión con tangente horizontal
Considero ahora la función
\[ f(x)=x^3 \]
Primero calculo la primera derivada.
\[ f'(x)=3x^2 \]
La primera derivada se anula en \(x_0=0\), por lo que la función tiene un punto estacionario en ese valor.
Después calculo la segunda derivada.
\[ f''(x)=6x \]
La segunda derivada también se anula en \(x_0=0\). Por tanto, continúo con la tercera derivada.
\[ f'''(x)=6 \]
Esta vez encuentro una derivada distinta de cero y positiva.
\[ f'''(0)=6>0 \]
Como la primera derivada no nula es de orden impar, el punto estacionario no es un máximo ni un mínimo relativo. Se trata de un punto de inflexión con tangente horizontal en \(x_0=0\).
Además, como la tercera derivada es positiva, la función es estrictamente creciente en un entorno de ese punto.
Ejemplo 4: punto de inflexión con tangente horizontal en una función decreciente
Por último, considero la función
\[ f(x)=-x^3 \]
Calculo sus derivadas sucesivas.
\[ \begin{aligned} f'(x)&=-3x^2\\ f''(x)&=-6x\\ f'''(x)&=-6 \end{aligned} \]
En \(x_0=0\), tanto la primera como la segunda derivada son iguales a cero. La tercera derivada, en cambio, es negativa.
\[ f'''(0)=-6<0 \]
La primera derivada no nula es de orden impar y tiene un valor negativo. Por tanto, según el criterio de las derivadas sucesivas, la gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en \(x_0=0\).
Además, el signo negativo de la tercera derivada indica que la función es estrictamente decreciente en un entorno de ese punto.
¿Por qué funciona el criterio de las derivadas sucesivas?
El criterio de las derivadas sucesivas se puede explicar mediante el teorema de Taylor, que permite estudiar cómo se comporta una función cerca de un punto.
Supongo que, en un punto estacionario \(x_0\), todas las derivadas desde la primera hasta la de orden \(n-1\) son iguales a cero, mientras que la derivada de orden \(n\) es distinta de cero. Aplicando el teorema de Taylor con resto de Peano, obtengo
\[ f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n) \]
El término \(o((x-x_0)^n)\), escrito con la notación de la o pequeña de Landau, representa un resto que tiende a cero más rápidamente que \((x-x_0)^n\) cuando \(x\) se aproxima a \(x_0\).
Esto significa que, cuando \(x\) está suficientemente cerca de \(x_0\), el primer término no nulo del desarrollo de Taylor determina el signo de la diferencia \(f(x)-f(x_0)\).
- Si \(n\) es par, la potencia \((x-x_0)^n\) es positiva a ambos lados de \(x_0\), excepto en el propio punto, donde vale cero. Si la derivada de orden \(n\) es positiva, la función toma valores mayores que \(f(x_0)\) en todos los puntos suficientemente próximos y distintos de \(x_0\). Por tanto, la función tiene un mínimo relativo estricto en \(x_0\). Si la derivada es negativa, la función toma valores menores y tiene un máximo relativo estricto.
- Si \(n\) es impar, la potencia \((x-x_0)^n\) cambia de signo al pasar de un lado al otro de \(x_0\). Por tanto, la gráfica atraviesa la recta horizontal \(y=f(x_0)\). Además, como \(n\geq 3\), la segunda derivada cambia de signo cerca de \(x_0\), lo que indica un cambio de concavidad. En consecuencia, la gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal. La función es estrictamente creciente o decreciente en un entorno de ese punto, según el signo de la derivada de orden \(n\).
Demostración del criterio de las derivadas sucesivas
Para entender por qué funciona este criterio, voy a estudiar los cuatro casos más sencillos, en los que la primera derivada no nula es la segunda o la tercera.
Primero analizaré los máximos y mínimos relativos. Después estudiaré los puntos de inflexión con tangente horizontal.
1. Segunda derivada negativa: máximo relativo
Considero una función \(f(x)\) que cumple estas condiciones en \(x_0\):
\[ f'(x_0)=0 \qquad f''(x_0)<0 \]
Como la segunda derivada es continua en \(x_0\), puedo encontrar un intervalo suficientemente pequeño alrededor de ese punto en el que sigue siendo negativa.
\[ f''(x)<0 \]
¿Qué significa que la segunda derivada sea negativa?
La segunda derivada indica cómo cambia la primera derivada. Si \(f''(x)<0\) en un intervalo, la primera derivada es estrictamente decreciente en ese intervalo.
También sé que \(f'(x_0)=0\). Por tanto, como la primera derivada es decreciente, debe ser positiva a la izquierda de \(x_0\) y negativa a la derecha, dentro del intervalo considerado.
\[ \begin{aligned} f'(x)>0 &\quad \text{si }x<x_0\\ f'(x)<0 &\quad \text{si }x>x_0 \end{aligned} \]
Ahora puedo determinar cómo se comporta la función.
Cuando la primera derivada es positiva, la función es creciente. Cuando es negativa, es decreciente.
Por tanto, la función crece hasta llegar a \(x_0\) y decrece después. Esto significa que \(f(x_0)\) es mayor que los valores de la función en todos los puntos suficientemente próximos y distintos de \(x_0\).
Concluyo que la función tiene un máximo relativo estricto en \(x_0\).
2. Segunda derivada positiva: mínimo relativo
Ahora considero el caso contrario:
\[ f'(x_0)=0 \qquad f''(x_0)>0 \]
Como la segunda derivada es continua en \(x_0\), puedo encontrar un intervalo suficientemente pequeño alrededor de ese punto en el que sigue siendo positiva.
\[ f''(x)>0 \]
Una segunda derivada positiva significa que la primera derivada es estrictamente creciente.
Como \(f'(x_0)=0\), la primera derivada debe ser negativa a la izquierda de \(x_0\) y positiva a la derecha.
\[ \begin{aligned} f'(x)<0 &\quad \text{si }x<x_0\\ f'(x)>0 &\quad \text{si }x>x_0 \end{aligned} \]
¿Qué ocurre entonces con la función?
La función decrece antes de llegar a \(x_0\) y crece después. Por tanto, \(f(x_0)\) es menor que los valores que toma la función en todos los puntos suficientemente próximos y distintos de \(x_0\).
Concluyo que la función tiene un mínimo relativo estricto en \(x_0\).
3. Tercera derivada negativa: punto de inflexión con tangente horizontal en una función decreciente
Ahora estudio un caso diferente. Supongo que la primera y la segunda derivada son iguales a cero en \(x_0\), mientras que la tercera derivada es negativa.
\[ f'(x_0)=f''(x_0)=0 \]
\[ f'''(x_0)<0 \]
Como la tercera derivada es continua en \(x_0\), puedo encontrar un intervalo suficientemente pequeño alrededor de ese punto en el que sigue siendo negativa.
La tercera derivada indica cómo cambia la segunda derivada. Como es negativa, la segunda derivada es estrictamente decreciente.
Además, como \(f''(x_0)=0\), la segunda derivada debe ser positiva a la izquierda de \(x_0\) y negativa a la derecha.
\[ \begin{aligned} f''(x)>0 &\quad \text{si }x<x_0\\ f''(x)<0 &\quad \text{si }x>x_0 \end{aligned} \]
Este cambio de signo indica que la gráfica cambia de concavidad en \(x_0\).
A la izquierda de \(x_0\), la gráfica tiene concavidad hacia arriba. A la derecha, tiene concavidad hacia abajo.
Por tanto, la gráfica tiene un punto de inflexión en \(x_0\).
Pero ¿por qué la tangente es horizontal y la función es decreciente?
La tangente es horizontal porque \(f'(x_0)=0\).
Para determinar si la función crece o decrece al atravesar el punto de inflexión, estudio el signo de la primera derivada.
A la izquierda de \(x_0\), la segunda derivada es positiva, por lo que la primera derivada es estrictamente creciente. Como llega a cero en \(x_0\), debe ser negativa antes de alcanzar ese punto.
A la derecha de \(x_0\), la segunda derivada es negativa, por lo que la primera derivada es estrictamente decreciente. Como parte de cero en \(x_0\), vuelve a tomar valores negativos.
Por tanto,
\[ f'(x)<0 \qquad \text{para }x\neq x_0 \]
en un entorno suficientemente pequeño de \(x_0\).
La función es estrictamente decreciente en ese entorno, aunque su derivada se anula en \(x_0\). Al mismo tiempo, la gráfica cambia de concavidad al pasar por ese punto.
Concluyo que la gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en \(x_0\), donde la función es estrictamente decreciente.
4. Tercera derivada positiva: punto de inflexión con tangente horizontal en una función creciente
Por último, analizo el caso en el que las dos primeras derivadas son iguales a cero y la tercera derivada es positiva.
\[ f'(x_0)=f''(x_0)=0 \]
\[ f'''(x_0)>0 \]
Como la tercera derivada es continua y positiva en \(x_0\), también es positiva en un intervalo suficientemente pequeño alrededor de ese punto.
Esto significa que la segunda derivada es estrictamente creciente.
Como \(f''(x_0)=0\), la segunda derivada debe ser negativa a la izquierda de \(x_0\) y positiva a la derecha.
\[ \begin{aligned} f''(x)<0 &\quad \text{si }x<x_0\\ f''(x)>0 &\quad \text{si }x>x_0 \end{aligned} \]
Por tanto, la gráfica cambia de concavidad: pasa de tener concavidad hacia abajo a tener concavidad hacia arriba.
Además, como \(f'(x_0)=0\), la recta tangente en ese punto es horizontal.
¿La función es creciente o decreciente al atravesar el punto?
A la izquierda de \(x_0\), la primera derivada es estrictamente decreciente hasta llegar a cero. Por tanto, antes de alcanzar \(x_0\), debe ser positiva.
A la derecha de \(x_0\), la primera derivada es estrictamente creciente a partir de cero, por lo que también toma valores positivos.
Así,
\[ f'(x)>0 \qquad \text{para }x\neq x_0 \]
en un entorno suficientemente pequeño de \(x_0\).
La función es estrictamente creciente en ese entorno, aunque su derivada se anula en \(x_0\). Además, la gráfica cambia de concavidad al pasar por ese punto.
Concluyo que la gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en \(x_0\), donde la función es estrictamente creciente.
Estos cuatro casos muestran cómo el signo de la segunda o la tercera derivada permite conocer el comportamiento de una función cerca de un punto estacionario.
Para estudiar derivadas de orden superior, puedo aplicar el mismo principio mediante el teorema de Taylor. El primer término no nulo del desarrollo de Taylor determina si el punto estacionario es un máximo relativo estricto, un mínimo relativo estricto o un punto de inflexión con tangente horizontal.
Así, el criterio también se puede aplicar a derivadas de orden superior.
