Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una función en el que cambia la concavidad. En otras palabras, es el punto en el que la curva cambia su manera de curvarse.

Sea $ y=f(x) $ una función definida y continua en un intervalo $I$ y derivable en todo el intervalo, salvo posiblemente en un único punto $x_0$. El punto $(x_0,f(x_0))$ es un punto de inflexión si la gráfica cambia de concavidad al pasar por $x_0$.
Ejemplo de un punto de inflexión con tangente oblicua

Desde el punto de vista geométrico, la curva se curva de manera diferente a uno y otro lado del punto de inflexión.

Por ejemplo, la gráfica puede ser cóncava hacia abajo antes del punto de inflexión y cóncava hacia arriba después de él. También puede producirse el cambio en sentido contrario.

La recta tangente en un punto de inflexión
Cómo clasificar un punto de inflexión
Puntos de inflexión según la recta tangente
De cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba
De cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo
Puntos de inflexión con tangente horizontal: condiciones y criterios
Cómo hallar los puntos de inflexión mediante la segunda derivada
Criterio de las derivadas de orden superior (puntos de inflexión con tangente horizontal)
Criterio de las derivadas sucesivas para puntos de inflexión con tangente oblicua

La recta tangente en un punto de inflexión

Si la función es derivable en un punto de inflexión, la gráfica tiene una recta tangente en ese punto.

La tangente puede ser horizontal u oblicua. También puede existir un punto de inflexión con tangente vertical, en cuyo caso la derivada ordinaria en ese punto no es finita.

Ejemplos de puntos de inflexión en los que la gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba

En una curva suficientemente regular y con una tangente bien definida en el punto de inflexión, la curva suele atravesar su recta tangente en dicho punto.

Este comportamiento geométrico está directamente relacionado con el cambio de concavidad que caracteriza al punto de inflexión.

¿Por qué? Consideremos un punto de inflexión $F$ y una recta secante que corta la curva en $A$, $F$ y $B$. A medida que $A$ y $B$ se aproximan a $F$, la recta secante se aproxima progresivamente a la recta tangente. En la situación límite, los tres puntos de intersección tienden a coincidir en $F$. En el caso de curvas algebraicas suficientemente regulares, este comportamiento puede expresarse diciendo que la recta tangente tiene un orden de contacto impar con la curva en un punto de inflexión ordinario.
Rectas secantes que se aproximan a la recta tangente en un punto de inflexión

Cómo clasificar un punto de inflexión

Los puntos de inflexión pueden clasificarse siguiendo dos criterios distintos: la dirección de la recta tangente y el sentido en el que cambia la concavidad.

El primer criterio se basa en la dirección de la recta tangente, siempre que esta exista.

Si la recta tangente es paralela al eje $x$, se trata de un punto de inflexión con tangente horizontal.
Si la recta tangente es paralela al eje $y$, se trata de un punto de inflexión con tangente vertical.
Si la recta tangente no es paralela a ninguno de los dos ejes, se trata de un punto de inflexión con tangente oblicua.

El segundo criterio se basa en el sentido del cambio de concavidad.

La gráfica puede pasar de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba.
La gráfica puede pasar de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo.

Nota. Estas dos clasificaciones son independientes. Por ejemplo, un punto de inflexión puede tener tangente horizontal y presentar un cambio de concavidad de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Del mismo modo, puede tener tangente oblicua mientras la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

La idea fundamental es sencilla: lo que define un punto de inflexión es siempre un cambio de concavidad. La dirección de la recta tangente, cuando esta existe, aporta información adicional sobre la geometría de la gráfica.

Puntos de inflexión según la recta tangente

Cuando existe una recta tangente en un punto de inflexión, podemos distinguir tres casos según su dirección.

La recta tangente puede ser horizontal, vertical u oblicua.

Punto de inflexión con tangente horizontal

Un punto de inflexión tiene tangente horizontal cuando su recta tangente es paralela al eje $x$.

Punto de inflexión con tangente horizontal

En este caso, la pendiente de la recta tangente es cero. Por tanto, si la función es derivable en $x_0$, la derivada satisface $ f'(x_0)=0 $.

Nota. La condición $ f'(x_0)=0 $ no basta por sí sola para afirmar que $x_0$ es un punto de inflexión. También es necesario que la gráfica cambie de concavidad en $x_0$. Si no se produce este cambio, el punto puede ser un máximo local, un mínimo local u otro tipo de punto estacionario.

Punto de inflexión con tangente vertical

Un punto de inflexión tiene tangente vertical cuando su recta tangente es paralela al eje $y$.

/data/andreamininiorg/flessi-am-2026-7.gif

En este caso, la derivada ordinaria en el punto no es finita y puede no estar definida, aunque la gráfica sí tenga una tangente vertical. Un ejemplo clásico es la gráfica de $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$.

Punto de inflexión con tangente oblicua

Un punto de inflexión tiene tangente oblicua cuando su recta tangente no es paralela ni al eje $x$ ni al eje $y$.

En este caso, la recta tangente tiene una pendiente finita y distinta de cero.

Ejemplo de un punto de inflexión con tangente oblicua

Si la función es derivable en $x_0$, la derivada en el punto de inflexión es finita y distinta de cero: $ f'(x_0)\neq 0 $.

De cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba

Un punto de inflexión puede aparecer cuando la gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba.

Punto de inflexión en el que la gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba

Más concretamente:

a la izquierda del punto de inflexión, la gráfica es cóncava hacia abajo;
a la derecha del punto de inflexión, la gráfica es cóncava hacia arriba.

Al recorrer la gráfica de izquierda a derecha y atravesar el punto de inflexión, cambia la forma en que se curva.

Nota. Si la función es dos veces derivable en intervalos situados inmediatamente a la izquierda y a la derecha del punto de inflexión $x_0$, la segunda derivada satisface $ f''(x)<0 $ a la izquierda de $x_0$ (concavidad hacia abajo) y $ f''(x)>0 $ a la derecha de $x_0$ (concavidad hacia arriba).

Este tipo de punto de inflexión puede tener tangente horizontal, vertical u oblicua, dependiendo del comportamiento de la función en el punto.

Ejemplos de puntos de inflexión en los que la gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba

Conviene tener presente una distinción importante: que la gráfica pase de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba no significa necesariamente que la función sea creciente.

La concavidad indica cómo varía la pendiente de la gráfica, no si los valores de la función aumentan o disminuyen.

Se trata de dos propiedades diferentes. El crecimiento y el decrecimiento se refieren a la monotonía de la función y están relacionados con el signo de $f'(x)$. La concavidad, en cambio, describe cómo varía la pendiente y, cuando existe la segunda derivada, está relacionada con el signo de $f''(x)$.

Distinguir ambos conceptos es fundamental para no confundir la monotonía de una función con la concavidad de su gráfica.

De cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo

El cambio contrario se produce cuando la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo.

Ejemplo de un punto de inflexión en el que la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo

En este caso:

a la izquierda del punto de inflexión, la gráfica es cóncava hacia arriba;
a la derecha del punto de inflexión, la gráfica es cóncava hacia abajo.

Nota. Si la función es dos veces derivable en intervalos situados inmediatamente a la izquierda y a la derecha del punto de inflexión $x_0$, la segunda derivada satisface $ f''(x)>0 $ a la izquierda de $x_0$ (concavidad hacia arriba) y $ f''(x)<0 $ a la derecha de $x_0$ (concavidad hacia abajo).

Este tipo de punto de inflexión también puede tener tangente horizontal, vertical u oblicua, dependiendo del comportamiento de la función en el punto.

Ejemplos de puntos de inflexión en los que la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo

También en este caso, la característica esencial del punto de inflexión es el cambio de concavidad al atravesar dicho punto, concretamente de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

Esto no significa necesariamente que la función sea decreciente.

El crecimiento o decrecimiento de una función y la concavidad de su gráfica son propiedades distintas. La monotonía está relacionada con el signo de la primera derivada, mientras que la concavidad describe cómo varía la pendiente y, cuando existe la segunda derivada, está relacionada con el signo de $f''(x)$.

Puntos de inflexión con tangente horizontal: condiciones y criterios

Sea $y=f(x)$ una función definida, continua y derivable en un intervalo abierto $I_{x_0}$ que contiene a $x_0$. Un punto de inflexión con tangente horizontal es un punto de la gráfica donde la recta tangente es horizontal y la función cambia de concavidad.

Para saber si $x_0$ puede corresponder a un punto de inflexión con tangente horizontal, podemos comprobar dos condiciones:

La primera derivada debe ser nula en ese punto: \[ f'(x_0)=0 \]
La primera derivada debe mantener el mismo signo a ambos lados de $x_0$, para todo $x\neq x_0$ suficientemente próximo a $x_0$.

La primera condición indica que la recta tangente es horizontal. La segunda nos dice que la función sigue creciendo o decreciendo al atravesar el punto estacionario.

Sin embargo, hay un detalle importante: estas dos condiciones no garantizan por sí solas que exista un punto de inflexión. Aunque la primera derivada conserve su signo a ambos lados del punto, la concavidad de la función podría mantenerse sin cambios.

Por eso, para confirmar que $(x_0,f(x_0))$ es un punto de inflexión con tangente horizontal, debemos comprobar también que la función cambia de concavidad al pasar por $x_0$.

Nota. Un punto de inflexión con tangente horizontal tiene dos características esenciales: la tangente es horizontal y la función cambia de concavidad. En ese punto, la primera derivada vale cero. En los casos que vamos a estudiar, además, la derivada mantiene el mismo signo a ambos lados. Esto significa que la función sigue creciendo o decreciendo, aunque cambia la forma en que varía su pendiente. A diferencia de un máximo o mínimo relativo en el que se produce un cambio de monotonía, la función no pasa de creciente a decreciente ni viceversa.
Ejemplos de puntos de inflexión con tangente horizontal en distintas funciones

En resumen, para reconocer un punto de inflexión con tangente horizontal hay que estudiar la primera derivada y la concavidad de la función.

Veamos cómo se aplica este criterio en dos situaciones: cuando la función es creciente y cuando es decreciente.

1] Punto de inflexión con tangente horizontal en una función creciente

Supongamos que la primera derivada es positiva a ambos lados de $x_0$:

\[ f'(x)>0 \qquad \text{para }x\neq x_0 \]

Esta condición se cumple para valores de $x$ suficientemente próximos a $x_0$.

Como la derivada es positiva, la función es creciente a ambos lados del punto estacionario.

En $x_0$, la derivada se anula y la recta tangente es horizontal. Si la función también cambia de concavidad en ese punto, entonces $(x_0,f(x_0))$ es un punto de inflexión con tangente horizontal.

Punto de inflexión con tangente horizontal en una función creciente

Ejemplo

Consideremos la función:

\[ f(x)=x^3 \]

Primero calculamos su derivada:

\[ f'(x)=3x^2 \]

En $x=0$, la derivada vale cero:

\[ f'(0)=0 \]

En cambio, para cualquier $x\neq 0$, la derivada es positiva:

\[ 3x^2>0 \]

Esto nos indica que la función es creciente a ambos lados del origen, aunque en $x=0$ tiene una tangente horizontal.

Pero todavía nos falta comprobar algo: ¿cambia la función de concavidad al atravesar el origen?

Para averiguarlo, calculamos la segunda derivada:

\[ f''(x)=6x \]

Ahora analizamos su signo:

Si $x<0$, la segunda derivada es negativa y la gráfica es cóncava hacia abajo.
Si $x>0$, la segunda derivada es positiva y la gráfica es cóncava hacia arriba.

La concavidad cambia al pasar por el origen. Además, sabemos que la primera derivada se anula en ese punto.

Por tanto, la función $f(x)=x^3$ es estrictamente creciente y tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en $O(0,0)$. No se trata de un máximo ni de un mínimo relativo, porque la función sigue creciendo a ambos lados del origen.

Gráfica de f(x)=x³ con un punto de inflexión y tangente horizontal en el origen

2] Punto de inflexión con tangente horizontal en una función decreciente

Veamos ahora el caso contrario. Supongamos que la primera derivada es negativa a ambos lados de $x_0$:

\[ f'(x)<0 \qquad \text{para }x\neq x_0 \]

para valores de $x$ suficientemente próximos a $x_0$.

En este caso, la función es decreciente a ambos lados del punto estacionario.

Si la primera derivada se anula en $x_0$ y la función cambia de concavidad al atravesar ese punto, tendremos un punto de inflexión con tangente horizontal.

Punto de inflexión con tangente horizontal en una función decreciente

Ejemplo

Consideremos la función:

\[ f(x)=-x^3 \]

Calculamos su primera derivada:

\[ f'(x)=-3x^2 \]

En el origen, la derivada es nula:

\[ f'(0)=0 \]

Sin embargo, para cualquier $x\neq 0$, se cumple que:

\[ -3x^2<0 \]

La derivada es negativa en todos los puntos excepto en el origen, donde vale cero. Por tanto, la función es decreciente a ambos lados de $x=0$.

Ahora debemos comprobar si cambia de concavidad. Para ello, calculamos la segunda derivada:

\[ f''(x)=-6x \]

Estudiamos su signo:

Si $x<0$, la segunda derivada es positiva y la gráfica es cóncava hacia arriba.
Si $x>0$, la segunda derivada es negativa y la gráfica es cóncava hacia abajo.

Como vemos, la función cambia de concavidad al atravesar el origen. Además, la primera derivada se anula en ese punto.

Por tanto, $f(x)=-x^3$ es una función estrictamente decreciente que presenta un punto de inflexión con tangente horizontal en $O(0,0)$.

Gráfica de f(x)=-x³ con un punto de inflexión y tangente horizontal en el origen

Diferencias entre un punto de inflexión con tangente horizontal y un máximo o mínimo relativo

¿Cómo podemos distinguir un punto de inflexión con tangente horizontal de un máximo o un mínimo relativo?

La clave está en observar cómo se comporta el signo de la primera derivada a ambos lados del punto estacionario.

Máximo relativo: Si la primera derivada pasa de positiva a negativa, la función cambia de creciente a decreciente.
Mínimo relativo: Si la primera derivada pasa de negativa a positiva, la función cambia de decreciente a creciente.
Punto de inflexión con tangente horizontal en una función creciente: La primera derivada es positiva a ambos lados del punto.
Punto de inflexión con tangente horizontal en una función decreciente: La primera derivada es negativa a ambos lados del punto.

En los máximos y mínimos relativos descritos, la función cambia de monotonía: deja de crecer para empezar a decrecer, o viceversa.

En cambio, en los puntos de inflexión con tangente horizontal que estamos estudiando, la función sigue creciendo o decreciendo, pero cambia de concavidad.

Comparación gráfica entre un punto de inflexión con tangente horizontal, un mínimo relativo y un máximo relativo

Cómo determinar los puntos de inflexión con tangente horizontal

Para encontrar los puntos de inflexión con tangente horizontal de una función derivable, podemos seguir cuatro pasos:

1. Calcular la primera derivada $f'(x)$.
2. Localizar los puntos estacionarios resolviendo la ecuación $f'(x)=0$.
3. Estudiar el signo de la primera derivada a la izquierda y a la derecha de cada punto estacionario.
4. Comprobar si cambia la concavidad, por ejemplo, analizando el signo de la segunda derivada.

Si la primera derivada mantiene el mismo signo a ambos lados de un punto estacionario y la función cambia de concavidad al atravesarlo, el punto correspondiente de la gráfica es un punto de inflexión con tangente horizontal.

Método alternativo: criterio de la tercera derivada

También existe otro procedimiento para identificar estos puntos cuando la función cumple las condiciones de derivabilidad necesarias: el criterio de la tercera derivada.

Supongamos que la primera y la segunda derivada se anulan en $x_0$:

\[ f'(x_0)=0,\qquad f''(x_0)=0 \]

Calculamos entonces la tercera derivada. Si existe y es distinta de cero en ese punto:

\[ f'''(x_0)\neq 0 \]

podemos concluir que $(x_0,f(x_0))$ es un punto de inflexión con tangente horizontal, siempre que la función sea dos veces derivable en un entorno de $x_0$ y se cumplan las condiciones de derivabilidad necesarias para aplicar este criterio.

Es importante tener en cuenta que estas condiciones son suficientes, pero no necesarias. Es decir, garantizan la existencia de un punto de inflexión con tangente horizontal, pero también puede haberlo cuando la tercera derivada es nula.

Veamos un ejemplo:

\[ f(x)=x^5 \]

Esta función tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en el origen, aunque su tercera derivada también se anula en ese punto.

Por tanto, que la tercera derivada sea cero no significa que no exista un punto de inflexión con tangente horizontal. Simplemente indica que este criterio no permite decidirlo y que debemos continuar con el análisis.

En estos casos, podemos estudiar el signo de la segunda derivada a ambos lados del punto o utilizar criterios basados en derivadas de orden superior para comprobar si la función cambia de concavidad.

Nota. En el apartado anterior hemos estudiado los puntos de inflexión con tangente horizontal. Sin embargo, no todos los puntos de inflexión tienen este tipo de tangente: también puede ser oblicua o vertical. A continuación, aprenderemos a identificar los puntos de inflexión y a determinar qué tipo de tangente presenta la gráfica en cada caso.

Cómo hallar los puntos de inflexión mediante la segunda derivada

Para encontrar los puntos de inflexión de una función, podemos estudiar el signo de su segunda derivada $f''(x)$. Este método permite identificar los puntos en los que la gráfica cambia de concavidad, es decir, donde pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo, o viceversa.

Supongamos que una función $f(x)$ es continua en un entorno de $x_0$ y dos veces derivable en todos los puntos de ese entorno, salvo posiblemente en $x_0$. En estas condiciones, podemos utilizar el siguiente procedimiento:

Calcular la segunda derivada $f''(x)$.
Buscar los posibles puntos de inflexión. Identificamos los valores de $x$ que pertenecen al dominio de la función y para los que $f''(x)=0$ o la segunda derivada no existe.
Comprobar el cambio de concavidad. Primero verificamos que la función sea continua en cada punto candidato. Después estudiamos el signo de $f''(x)$ a ambos lados. Si la segunda derivada pasa de positiva a negativa, o de negativa a positiva, la gráfica cambia de concavidad y podemos confirmar que existe un punto de inflexión.
Determinar el tipo de tangente. Una vez encontrado un punto de inflexión de abscisa $x_0$, analizamos la primera derivada:
- Si $f'(x_0)=0$, tenemos un punto de inflexión con tangente horizontal.
- Si $f'(x_0)\ne 0$ y la derivada es finita, tenemos un punto de inflexión con tangente oblicua.
- Si la función es continua en $x_0$, pero no es derivable en ese punto, puede presentar una tangente vertical. Si además cambia de concavidad, se trata de un punto de inflexión con tangente vertical. Para comprobar si existe una tangente vertical, podemos estudiar el límite de la primera derivada: \[ \lim_{x\to x_0}f'(x)=+\infty \] o bien \[ \lim_{x\to x_0}f'(x)=-\infty \] Si se cumple alguna de estas condiciones, con el mismo comportamiento por ambos lados de $x_0$, y la gráfica cambia de concavidad, tenemos un punto de inflexión con tangente vertical. La ecuación de esta recta es $x=x_0$.

Importante: Si una función tiene un punto de inflexión en $x_0$ y es dos veces derivable en ese punto, necesariamente se cumple que $f''(x_0)=0$.

Sin embargo, esta es una condición necesaria, pero no suficiente. Que la segunda derivada sea igual a cero no significa automáticamente que exista un punto de inflexión. Para confirmarlo, debemos comprobar que la gráfica cambia realmente de concavidad.

También conviene recordar que una función puede tener puntos de inflexión en los que la segunda derivada no esté definida.

Ejemplo 1: Punto de inflexión con tangente horizontal

Veamos cómo aplicar este procedimiento a la función:

\[ f(x)=x^3 \]

Primero calculamos la primera derivada:

\[ f'(x)=3x^2 \]

Después obtenemos la segunda derivada:

\[ f''(x)=6x \]

Para encontrar los posibles puntos de inflexión, igualamos la segunda derivada a cero:

\[ f''(x)=0 \]

\[ 6x=0 \]

\[ x=0 \]

Hemos encontrado un posible punto de inflexión en $x=0$. El siguiente paso es comprobar si la gráfica cambia de concavidad al pasar por ese valor.

Cuando $x<0$, la segunda derivada es negativa y la gráfica es cóncava hacia abajo.

Cuando $x>0$, la segunda derivada es positiva y la gráfica es cóncava hacia arriba.

Por tanto, la gráfica cambia de concavidad en $x=0$. Esto confirma que el origen de coordenadas es un punto de inflexión.

Ahora debemos averiguar si la tangente en ese punto es horizontal u oblicua. Para ello, calculamos la primera derivada en $x=0$:

\[ f'(0)=3\cdot0^2=0 \]

Como $f'(0)=0$, la pendiente de la recta tangente es nula. Por tanto, la tangente es horizontal.

En conclusión, el origen $O(0,0)$ es un punto de inflexión con tangente horizontal.

Gráfica de la función f(x) igual a x al cubo, con un punto de inflexión y tangente horizontal en el origen de coordenadas

Ejemplo 2: Punto de inflexión con tangente oblicua

Veamos ahora qué ocurre cuando la tangente en el punto de inflexión no es horizontal. Consideremos la función:

\[ f(x)=x^3+x \]

Calculamos su primera derivada:

\[ f'(x)=3x^2+1 \]

Y después la segunda derivada:

\[ f''(x)=6x \]

Igualamos la segunda derivada a cero:

\[ f''(x)=0 \]

\[ 6x=0 \]

\[ x=0 \]

De nuevo, obtenemos $x=0$ como posible punto de inflexión.

Para comprobarlo, estudiamos el signo de la segunda derivada a ambos lados del origen.

Si $x<0$, entonces $f''(x)<0$, por lo que la gráfica es cóncava hacia abajo.

Si $x>0$, entonces $f''(x)>0$, de modo que la gráfica es cóncava hacia arriba.

Como la concavidad cambia en $x=0$, podemos afirmar que el origen es un punto de inflexión.

Veamos ahora qué tipo de tangente tiene. Calculamos la primera derivada en $x=0$:

\[ f'(0)=3\cdot0^2+1=1 \]

En este caso, la derivada no es cero. La recta tangente tiene una pendiente igual a 1 y, por tanto, es oblicua.

Así pues, el origen $O(0,0)$ es un punto de inflexión con tangente oblicua.

Gráfica de la función f(x) igual a x al cubo más x, con un punto de inflexión y tangente oblicua en el origen de coordenadas

Observa que la curva cruza su recta tangente en el origen. Al atravesar el punto de inflexión, la gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba.

¿Cómo hallar la ecuación de una recta tangente oblicua?

Además de identificar un punto de inflexión, podemos calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica en ese punto.

Si una función $f(x)$ es derivable en $x_0$, la ecuación de la recta tangente se obtiene mediante la ecuación punto-pendiente de la recta:

\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \]

En esta fórmula:

$x_0$ es la abscisa del punto de tangencia.
$f(x_0)$ es la ordenada del punto de tangencia.
$f'(x_0)$ es la pendiente de la recta tangente.

Vamos a utilizar esta fórmula para encontrar la ecuación de la recta tangente a la función del ejemplo anterior:

\[ f(x)=x^3+x \]

Ya hemos comprobado que esta función tiene un punto de inflexión en el origen, donde $x_0=0$, y que la tangente en ese punto es oblicua.

Paso 1: Hallar el punto de tangencia.

Sustituimos $x_0=0$ en la función para calcular su ordenada:

\[ y=f(x_0)=f(0)=0^3+0=0 \]

Por tanto, el punto de tangencia es $P(0,0)$.

Paso 2: Calcular la pendiente de la recta tangente.

La primera derivada de la función es:

\[ f'(x)=3x^2+1 \]

Evaluamos la derivada en $x_0=0$:

\[ f'(0)=3\cdot0^2+1=1 \]

Por tanto, la pendiente de la recta tangente es $m=1$.

Paso 3: Obtener la ecuación de la recta tangente.

Partimos de la ecuación punto-pendiente:

\[ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) \]

Sustituimos los valores que acabamos de calcular: $x_0=0$, $f(x_0)=0$ y $f'(x_0)=1$.

\[ y-0=1\cdot(x-0) \]

Simplificamos:

\[ y=x \]

Por tanto, $y=x$ es la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de inflexión $P(0,0)$.

Este mismo procedimiento permite hallar la ecuación de la recta tangente en cualquier punto en el que una función sea derivable, tanto si es un punto de inflexión como si no lo es.

Criterio de las derivadas de orden superior (puntos de inflexión con tangente horizontal)

Sea $y=f(x)$ una función con derivadas continuas hasta el orden $n$ en un intervalo abierto. Supongo que, en un punto interior $x_0$, todas las derivadas desde la primera hasta la de orden $n-1$ son iguales a cero: \[ f'(x_0)=f''(x_0)=\cdots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \] Sin embargo, la derivada de orden $n$, con $n\geq 2$, es distinta de cero: \[ f^{(n)}(x_0)\neq 0 \] En este caso, puedo determinar si el punto estacionario es un máximo local, un mínimo local o un punto de inflexión. Para ello, basta con observar el orden y el signo de la primera derivada no nula.

Si $n$ es par, la función tiene un máximo local estricto en $x_0$ cuando $f^{(n)}(x_0)<0$, y un mínimo local estricto cuando $f^{(n)}(x_0)>0$.
Si $n$ es impar, la gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en $x_0$. La función es estrictamente decreciente cerca de ese punto cuando $f^{(n)}(x_0)<0$, y estrictamente creciente cuando $f^{(n)}(x_0)>0$.

El criterio de las derivadas de orden superior resulta especialmente útil para reconocer puntos de inflexión con tangente horizontal cuando la primera y la segunda derivada se anulan en un mismo punto.

En estas situaciones, el criterio de la segunda derivada no permite determinar la naturaleza del punto estacionario. Por eso, necesito calcular derivadas de orden superior hasta encontrar la primera que sea distinta de cero.

Nota. El orden de una derivada indica cuántas veces se ha derivado la función original. La primera derivada es de orden 1, la segunda de orden 2, la tercera de orden 3, y así sucesivamente. Las derivadas de orden par son la segunda, la cuarta, la sexta, etc. Las derivadas de orden impar son la primera, la tercera, la quinta, etc.

Ejemplo

Considero la función

\[ f(x)=x^3 \]

Primero, calculo la primera derivada.

\[ f'(x)=3x^2 \]

Para encontrar los puntos estacionarios, igualo la primera derivada a cero.

\[ 3x^2=0 \]

Al resolver la ecuación, obtengo

\[ x_0=0 \]

Ahora calculo la segunda derivada.

\[ f''(x)=6x \]

En $x_0=0$, la segunda derivada también es igual a cero.

\[ f''(0)=0 \]

Por tanto, el criterio de la segunda derivada no es concluyente. Todavía no puedo determinar mediante este criterio si el punto estacionario es un máximo local, un mínimo local o un punto de inflexión.

Para resolverlo, calculo la tercera derivada.

\[ f'''(x)=6 \]

En $x_0=0$, la tercera derivada es positiva y distinta de cero.

\[ f'''(0)=6>0 \]

He encontrado la primera derivada no nula: es de orden impar y tiene signo positivo. Según el criterio de las derivadas de orden superior, $x_0=0$ es un punto de inflexión con tangente horizontal, donde la función es creciente.

Por último, calculo el valor de la función en ese punto.

\[ f(0)=0 \]

Por tanto, el punto de inflexión tiene coordenadas $(0,0)$.

Gráfica de f(x) = x al cubo, con un punto de inflexión en el origen y tangente horizontal. La función es creciente a ambos lados del punto de inflexión.

Puedo utilizar este mismo procedimiento con otras funciones cuando la primera y la segunda derivada se anulan en un punto estacionario. Solo necesito seguir calculando derivadas hasta encontrar la primera que no sea cero y comprobar si su orden es par o impar y cuál es su signo.

Criterio de las derivadas sucesivas para puntos de inflexión con tangente oblicua

Considero una función $y=f(x)$ cuyas derivadas hasta el orden $n$ son continuas en un intervalo abierto que contiene a $x_0$. Supongo que la primera derivada en $x_0$ es distinta de cero:

\[ f'(x_0)\neq 0 \]

Además, las derivadas desde la segunda hasta la de orden $n-1$ se anulan en ese punto:

\[ f''(x_0)=f'''(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \]

En cambio, la derivada de orden $n$ es distinta de cero:

\[ f^{(n)}(x_0)\neq 0,\qquad n\geq 3 \]

Con estas condiciones, puedo estudiar la concavidad de la función cerca de $x_0$. Solo necesito comprobar si $n$ es par o impar y el signo de $f^{(n)}(x_0)$.

Si $n$ es impar, el punto $(x_0,f(x_0))$ es un punto de inflexión con tangente oblicua. Al recorrer la gráfica de izquierda a derecha, pueden darse dos casos:

Si $f^{(n)}(x_0)>0$, la función pasa de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba.
Si $f^{(n)}(x_0)<0$, la función pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

Si $n$ es par, no hay un punto de inflexión, porque la concavidad no cambia al atravesar $x_0$. En un entorno suficientemente pequeño de ese punto:

Si $f^{(n)}(x_0)>0$, la función es cóncava hacia arriba.
Si $f^{(n)}(x_0)<0$, la función es cóncava hacia abajo.

Este criterio me permite identificar puntos de inflexión con tangente oblicua mediante las derivadas de orden superior. También resulta útil para determinar la concavidad de una función cuando la segunda derivada se anula en el punto que estoy estudiando.

La diferencia respecto al criterio anterior es importante: aquí la primera derivada debe ser distinta de cero. Esto significa que la recta tangente tiene una pendiente finita y no nula, por lo que no es horizontal.

Ejemplo resuelto

Considero la función:

\[ f(x)=x^3-2x^2+x \]

Quiero averiguar si tiene algún punto de inflexión y, en caso afirmativo, calcular sus coordenadas.

Empiezo calculando la primera y la segunda derivada:

\[ f'(x)=3x^2-4x+1 \]

\[ f''(x)=6x-4 \]

Para localizar un posible punto de inflexión, igualo la segunda derivada a cero y despejo $x$:

\[ 6x-4=0 \quad \Rightarrow \quad x_0=\frac{2}{3} \]

Ahora compruebo que la primera derivada sea distinta de cero en ese punto:

\[ f'\left(\frac{2}{3}\right) =3\cdot\frac{4}{9}-4\cdot\frac{2}{3}+1 =-\frac{1}{3}\neq 0 \]

Como la pendiente no es cero, la recta tangente es oblicua. Por tanto, puedo aplicar el criterio de las derivadas sucesivas.

Calculo la tercera derivada:

\[ f'''(x)=6 \]

En $x_0=\frac{2}{3}$, la segunda derivada se anula, mientras que la tercera es positiva:

\[ f''\left(\frac{2}{3}\right)=0,\qquad f'''\left(\frac{2}{3}\right)=6>0 \]

La tercera derivada es la primera derivada de orden superior a uno que no se anula en ese punto. Como su orden es impar, puedo concluir que la función tiene un punto de inflexión con tangente oblicua.

Además, como la tercera derivada es positiva, la función pasa de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba al atravesar el punto de inflexión de izquierda a derecha.

Para calcular las coordenadas del punto, sustituyo $x_0=\frac{2}{3}$ en la función original:

\[ f\left(\frac{2}{3}\right) =\frac{8}{27}-\frac{8}{9}+\frac{2}{3} =\frac{2}{27} \]

Por tanto, el punto de inflexión es:

\[ F\left(\frac{2}{3},\frac{2}{27}\right) \]

En la siguiente gráfica puedo observar cómo cambia la concavidad de la función al pasar por este punto.

Gráfica de la función con un punto de inflexión de tangente oblicua y el cambio de concavidad

También puedo comprobar el resultado estudiando el signo de la segunda derivada $f''(x)=6x-4$:

Si $x<\frac{2}{3}$, la segunda derivada es negativa y la función es cóncava hacia abajo.
Si $x>\frac{2}{3}$, la segunda derivada es positiva y la función es cóncava hacia arriba.

Esto confirma que la concavidad cambia en $x_0=\frac{2}{3}$ y que, por tanto, se trata de un punto de inflexión.

Por último, calculo la ecuación de la recta tangente en el punto de inflexión. Su pendiente es $f'\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{1}{3}$, así que utilizo la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:

\[ y-\frac{2}{27}=-\frac{1}{3}\left(x-\frac{2}{3}\right) \]

Al desarrollar y simplificar, obtengo:

\[ y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{27} \]

Esta es la ecuación de la recta tangente oblicua a la gráfica en el punto de inflexión.