Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una función en el que cambia la concavidad. En otras palabras, es el punto en el que la curva cambia su manera de curvarse.

Sea $ y=f(x) $ una función definida y continua en un intervalo \(I\) y derivable en todo el intervalo, salvo posiblemente en un único punto \(x_0\). El punto \((x_0,f(x_0))\) es un punto de inflexión si la gráfica cambia de concavidad al pasar por \(x_0\).

Desde el punto de vista geométrico, la curva se curva de manera diferente a uno y otro lado del punto de inflexión.

Por ejemplo, la gráfica puede ser cóncava hacia abajo antes del punto de inflexión y cóncava hacia arriba después de él. También puede producirse el cambio en sentido contrario.

La recta tangente en un punto de inflexión

Si la función es derivable en un punto de inflexión, la gráfica tiene una recta tangente en ese punto.

La tangente puede ser horizontal u oblicua. También puede existir un punto de inflexión con tangente vertical, en cuyo caso la derivada ordinaria en ese punto no es finita.

En una curva suficientemente regular y con una tangente bien definida en el punto de inflexión, la curva suele atravesar su recta tangente en dicho punto.

Este comportamiento geométrico está directamente relacionado con el cambio de concavidad que caracteriza al punto de inflexión.

¿Por qué? Consideremos un punto de inflexión \(F\) y una recta secante que corta la curva en \(A\), \(F\) y \(B\). A medida que \(A\) y \(B\) se aproximan a \(F\), la recta secante se aproxima progresivamente a la recta tangente. En la situación límite, los tres puntos de intersección tienden a coincidir en \(F\). En el caso de curvas algebraicas suficientemente regulares, este comportamiento puede expresarse diciendo que la recta tangente tiene un orden de contacto impar con la curva en un punto de inflexión ordinario.

Cómo clasificar un punto de inflexión

Los puntos de inflexión pueden clasificarse siguiendo dos criterios distintos: la dirección de la recta tangente y el sentido en el que cambia la concavidad.

El primer criterio se basa en la dirección de la recta tangente, siempre que esta exista.

• Si la recta tangente es paralela al eje \(x\), se trata de un punto de inflexión con tangente horizontal.
• Si la recta tangente es paralela al eje \(y\), se trata de un punto de inflexión con tangente vertical.
• Si la recta tangente no es paralela a ninguno de los dos ejes, se trata de un punto de inflexión con tangente oblicua.

El segundo criterio se basa en el sentido del cambio de concavidad.

• La gráfica puede pasar de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba.
• La gráfica puede pasar de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo.

Nota. Estas dos clasificaciones son independientes. Por ejemplo, un punto de inflexión puede tener tangente horizontal y presentar un cambio de concavidad de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. Del mismo modo, puede tener tangente oblicua mientras la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

La idea fundamental es sencilla: lo que define un punto de inflexión es siempre un cambio de concavidad. La dirección de la recta tangente, cuando esta existe, aporta información adicional sobre la geometría de la gráfica.

Puntos de inflexión según la recta tangente

Cuando existe una recta tangente en un punto de inflexión, podemos distinguir tres casos según su dirección.

La recta tangente puede ser horizontal, vertical u oblicua.

Punto de inflexión con tangente horizontal

Un punto de inflexión tiene tangente horizontal cuando su recta tangente es paralela al eje \(x\).

En este caso, la pendiente de la recta tangente es cero. Por tanto, si la función es derivable en \(x_0\), la derivada satisface $ f'(x_0)=0 $.

Nota. La condición $ f'(x_0)=0 $ no basta por sí sola para afirmar que \(x_0\) es un punto de inflexión. También es necesario que la gráfica cambie de concavidad en \(x_0\). Si no se produce este cambio, el punto puede ser un máximo local, un mínimo local u otro tipo de punto estacionario.

Punto de inflexión con tangente vertical

Un punto de inflexión tiene tangente vertical cuando su recta tangente es paralela al eje \(y\). 

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En este caso, la derivada ordinaria en el punto no es finita y puede no estar definida, aunque la gráfica sí tenga una tangente vertical. Un ejemplo clásico es la gráfica de \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) en \(x=0\).

Punto de inflexión con tangente oblicua

Un punto de inflexión tiene tangente oblicua cuando su recta tangente no es paralela ni al eje \(x\) ni al eje \(y\).

En este caso, la recta tangente tiene una pendiente finita y distinta de cero.

Si la función es derivable en \(x_0\), la derivada en el punto de inflexión es finita y distinta de cero: $ f'(x_0)\neq 0 $.

De cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba

Un punto de inflexión puede aparecer cuando la gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba.

Más concretamente:

• a la izquierda del punto de inflexión, la gráfica es cóncava hacia abajo;
• a la derecha del punto de inflexión, la gráfica es cóncava hacia arriba.

Al recorrer la gráfica de izquierda a derecha y atravesar el punto de inflexión, cambia la forma en que se curva.

Nota. Si la función es dos veces derivable en intervalos situados inmediatamente a la izquierda y a la derecha del punto de inflexión \(x_0\), la segunda derivada satisface $ f''(x)<0 $ a la izquierda de \(x_0\) (concavidad hacia abajo) y $ f''(x)>0 $ a la derecha de \(x_0\) (concavidad hacia arriba).

Este tipo de punto de inflexión puede tener tangente horizontal, vertical u oblicua, dependiendo del comportamiento de la función en el punto.

Conviene tener presente una distinción importante: que la gráfica pase de ser cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba no significa necesariamente que la función sea creciente.

La concavidad indica cómo varía la pendiente de la gráfica, no si los valores de la función aumentan o disminuyen.

Se trata de dos propiedades diferentes. El crecimiento y el decrecimiento se refieren a la monotonía de la función y están relacionados con el signo de \(f'(x)\). La concavidad, en cambio, describe cómo varía la pendiente y, cuando existe la segunda derivada, está relacionada con el signo de \(f''(x)\).

Distinguir ambos conceptos es fundamental para no confundir la monotonía de una función con la concavidad de su gráfica.

De cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo

El cambio contrario se produce cuando la gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo.

En este caso:

• a la izquierda del punto de inflexión, la gráfica es cóncava hacia arriba;
• a la derecha del punto de inflexión, la gráfica es cóncava hacia abajo.

Nota. Si la función es dos veces derivable en intervalos situados inmediatamente a la izquierda y a la derecha del punto de inflexión \(x_0\), la segunda derivada satisface $ f''(x)>0 $ a la izquierda de \(x_0\) (concavidad hacia arriba) y $ f''(x)<0 $ a la derecha de \(x_0\) (concavidad hacia abajo).

Este tipo de punto de inflexión también puede tener tangente horizontal, vertical u oblicua, dependiendo del comportamiento de la función en el punto.

También en este caso, la característica esencial del punto de inflexión es el cambio de concavidad al atravesar dicho punto, concretamente de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

Esto no significa necesariamente que la función sea decreciente.

El crecimiento o decrecimiento de una función y la concavidad de su gráfica son propiedades distintas. La monotonía está relacionada con el signo de la primera derivada, mientras que la concavidad describe cómo varía la pendiente y, cuando existe la segunda derivada, está relacionada con el signo de \(f''(x)\).