Criterio de las derivadas sucesivas para estudiar la concavidad y los puntos de inflexión

¿Qué ocurre cuando la segunda derivada de una función es igual a cero? ¿Significa que hay un punto de inflexión? No necesariamente. Para saberlo, necesito comprobar si la gráfica cambia de concavidad al pasar por ese punto.

El criterio de las derivadas sucesivas me permite resolver esta cuestión examinando las derivadas de orden superior. Para aplicar la versión que acabo de presentar, primero verifico que \( f'(x_0) \ne 0 \). Así sé que la recta tangente a la gráfica en \((x_0,f(x_0))\) no es horizontal.

Si la primera derivada también se anula, puedo utilizar el criterio de las derivadas sucesivas para extremos relativos y puntos de inflexión con tangente horizontal.

Nota. El orden de una derivada indica cuántas veces se ha derivado una función \( f(x) \). La primera derivada es de orden 1, la segunda de orden 2, y así sucesivamente. Si la segunda derivada se anula en un punto, busco la primera derivada de orden superior que sea distinta de cero. Si su orden es impar, la gráfica cambia de concavidad; si es par, conserva la misma concavidad a ambos lados del punto, en un entorno suficientemente pequeño. El signo de esa derivada me indica el sentido del cambio o el tipo de concavidad.

Ejemplo 1: Cómo identificar un punto de inflexión

Considero la función:

\[ f(x)=x+x^3 \]

Quiero saber si tiene un punto de inflexión en \(x_0=0\). Para comprobarlo, calculo sus derivadas sucesivas:

\[ f'(x)=1+3x^2,\qquad f''(x)=6x,\qquad f'''(x)=6 \]

Después, evalúo las derivadas en \(x_0=0\):

\[ f'(0)=1\neq 0,\qquad f''(0)=0,\qquad f'''(0)=6>0 \]

La primera derivada es distinta de cero, la segunda se anula y la tercera es positiva.

La primera derivada de orden superior al segundo que no se anula es la tercera derivada. Como su orden es impar, puedo concluir que \((0,0)\) es un punto de inflexión con tangente no horizontal.

Además, como \(f'''(0)>0\), la gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba al atravesar el origen de izquierda a derecha.

Puedo verificarlo directamente con la segunda derivada. Como \(f''(x)=6x\) es negativa para \(x<0\) y positiva para \(x>0\), la gráfica cambia de concavidad en el origen.  

Ejemplo 2 

Ahora considero una función parecida:

\[ f(x)=x+x^4 \]

¿También tiene un punto de inflexión en \(x_0=0\)? Para averiguarlo, calculo sus derivadas:

\[ f'(x)=1+4x^3,\qquad f''(x)=12x^2,\qquad f'''(x)=24x,\qquad f^{(4)}(x)=24 \]

Al evaluarlas en \(x_0=0\), obtengo:

\[ f'(0)=1\neq 0,\qquad f''(0)=f'''(0)=0,\qquad f^{(4)}(0)=24>0 \]

Esta vez, la primera derivada de orden superior al segundo que no se anula es la cuarta derivada. Su orden es par y su valor es positivo.

Por tanto, la gráfica es cóncava hacia arriba a ambos lados de \(0\). Como no cambia de concavidad, \((0,0)\) no es un punto de inflexión.

También puedo comprobarlo mediante la segunda derivada: \(f''(x)=12x^2\) es positiva para todo \(x\neq 0\). Por eso, la gráfica mantiene la concavidad hacia arriba a ambos lados del origen.

Este ejemplo muestra una diferencia fundamental: que la segunda derivada sea igual a cero no basta para afirmar que existe un punto de inflexión. Lo importante es comprobar si la gráfica cambia realmente de concavidad.

¿Qué ocurre si la primera derivada es igual a cero?

Hasta ahora he supuesto que \(f'(x_0)\neq 0\), por lo que la recta tangente no es horizontal. Pero ¿qué sucede si la primera derivada también se anula?

En ese caso, puedo seguir utilizando el criterio de las derivadas sucesivas. Si \(f'(x_0)=0\) y se cumplen las demás hipótesis, distingo dos posibilidades:

• Si \(n\) es impar, la gráfica tiene un punto de inflexión con tangente horizontal en \((x_0,f(x_0))\).
• Si \(n\) es par, no hay un punto de inflexión en \(x_0\). En cambio, la función presenta un mínimo relativo estricto si \(f^{(n)}(x_0)>0\), o un máximo relativo estricto si \(f^{(n)}(x_0)<0\).

Por ejemplo, considero la función \(f(x)=x^3\). En \(x_0=0\), obtengo \(f'(0)=f''(0)=0\) y \(f'''(0)=6>0\). La primera derivada que no se anula es la tercera, cuyo orden es impar. Por tanto, \((0,0)\) es un punto de inflexión con tangente horizontal, cuya ecuación es \(y=0\).

Demostración del criterio de las derivadas sucesivas

Para demostrar el criterio de las derivadas sucesivas, utilizo el teorema de Taylor. En lugar de desarrollar la función original \(f(x)\), lo aplico a su segunda derivada \(f''(x)\). ¿Por qué? Porque el signo de la segunda derivada me permite estudiar la concavidad de la gráfica: si es positivo, la gráfica es cóncava hacia arriba; si es negativo, es cóncava hacia abajo.

Comienzo definiendo una función auxiliar:

\[ g(x)=f''(x). \]

Al derivar \(g\) sucesivamente, obtengo las derivadas de orden superior de \(f\):

\[ g'(x)=f'''(x),\qquad g''(x)=f^{(4)}(x),\qquad \ldots,\qquad g^{(n-2)}(x)=f^{(n)}(x). \]

¿Por qué aparece \(n-2\)? Porque \(g\) ya es la segunda derivada de \(f\). Por tanto, debo derivarla otras \(n-2\) veces para obtener la derivada de orden \(n\) de la función original.

A continuación, aplico el teorema de Taylor a \(g\) y desarrollo esta función alrededor de \(x_0\) hasta el orden \(n-2\):

\[ g(x)=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0) +\frac{g''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+ \frac{g^{(n-2)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2} +R(x) \]

En esta expresión, \(R(x)\) es el resto del desarrollo de Taylor, es decir, la diferencia entre la función y su polinomio de Taylor. Si utilizo la forma de Peano del resto, obtengo:

\[ \lim_{x\to x_0}\frac{R(x)}{(x-x_0)^{n-2}}=0 \]

También puedo expresar esta propiedad mediante la notación de Landau: \(R(x)=o((x-x_0)^{n-2})\) cuando \(x\to x_0\). Esto significa que el cociente entre el resto y \((x-x_0)^{n-2}\) tiende a cero. En otras palabras, cerca de \(x_0\), el resto se vuelve despreciable en comparación con el término de grado \(n-2\).

Ahora sustituyo \(g\) por \(f''\) y escribo las derivadas correspondientes:

\[ f''(x)=f''(x_0)+f'''(x_0)(x-x_0) +\frac{f^{(4)}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2} +R(x). \]

Por hipótesis, todas las derivadas desde la segunda hasta la de orden \(n-1\) se anulan en \(x_0\):

\[ f''(x_0)=f'''(x_0)=\ldots=f^{(n-1)}(x_0)=0 \]

Por tanto, todos los términos del polinomio de Taylor desaparecen, excepto el de mayor grado:

\[ f''(x)= \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2}+R(x) \]

Nota. Para entender mejor este paso, supongo que la primera derivada de orden superior a dos que no se anula es la quinta. En ese caso: \[ f''(x_0)=f'''(x_0)=f^{(4)}(x_0)=0, \qquad f^{(5)}(x_0)\neq 0 \] El desarrollo de Taylor queda así: \[ f''(x)= \underbrace{f''(x_0)}_{0} +\underbrace{f'''(x_0)}_{0}(x-x_0) +\frac{\underbrace{f^{(4)}(x_0)}_{0}}{2!}(x-x_0)^2 +\frac{f^{(5)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+R(x) \] Como los tres primeros términos son nulos, solo quedan el término cúbico y el resto: \[ f''(x)=\frac{f^{(5)}(x_0)}{6}(x-x_0)^3+R(x) \] 

Para \(x\neq x_0\), saco factor común \((x-x_0)^{n-2}\):

\[ f''(x)=(x-x_0)^{n-2} \left[ \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!} +\frac{R(x)}{(x-x_0)^{n-2}} \right]. \]

Este es el paso clave de la demostración. Dentro de los corchetes aparece una constante distinta de cero más un término que tiende a cero. Cuando \(x\) se aproxima suficientemente a \(x_0\), ese segundo término se hace tan pequeño que no puede cambiar el signo de la constante.

Por tanto, para \(x\neq x_0\) suficientemente próximo a \(x_0\), el signo de \(f''(x)\) coincide con el de:

\[ \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!}(x-x_0)^{n-2}. \]

Como el factorial \((n-2)!\) siempre es positivo, solo necesito examinar el signo de \(f^{(n)}(x_0)\) y si el exponente \(n-2\) es par o impar. Una potencia de exponente impar cambia de signo cuando \(x\) atraviesa \(x_0\), mientras que una potencia de exponente par es positiva a ambos lados, siempre que \(x\neq x_0\).

• Si \(n\) es impar, entonces \(n-2\) también es impar. Por tanto: \[ (x-x_0)^{n-2}<0 \quad \text{si }x<x_0, \qquad (x-x_0)^{n-2}>0 \quad \text{si }x>x_0 \] Esto significa que la segunda derivada cambia de signo al pasar por \(x_0\):
  • Si \(f^{(n)}(x_0)>0\), entonces \(f''(x)\) pasa de negativa a positiva. La gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba.
  • Si \(f^{(n)}(x_0)<0\), entonces \(f''(x)\) pasa de positiva a negativa. La gráfica pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo.
  En ambos casos, la gráfica cambia de concavidad. Por tanto, \((x_0,f(x_0))\) es un punto de inflexión. Además, como \(f'(x_0)\neq 0\), la recta tangente en ese punto no es horizontal.
• Si \(n\) es par, entonces \(n-2\) también es par. En consecuencia: \[ (x-x_0)^{n-2}>0 \qquad \text{si }x\neq x_0 \] La segunda derivada mantiene el mismo signo a ambos lados de \(x_0\):
  • Si \(f^{(n)}(x_0)>0\), entonces \(f''(x)>0\), por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba.
  • Si \(f^{(n)}(x_0)<0\), entonces \(f''(x)<0\), por lo que la gráfica es cóncava hacia abajo.
  Estas conclusiones son válidas para los valores de \(x\) suficientemente próximos a \(x_0\), excluyendo el propio punto, donde \(f''(x_0)=0\). En análisis matemático, este conjunto se denomina entorno reducido o entorno perforado de \(x_0\). Como no hay cambio de concavidad, \((x_0,f(x_0))\) no es un punto de inflexión.

La demostración también explica por qué el criterio incluye la condición \(f'(x_0)\neq 0\). Esta condición no interviene en el estudio del signo de la segunda derivada, sino que permite distinguir los puntos de inflexión con tangente no horizontal de aquellos cuya tangente es horizontal.

Si \(f'(x_0)=0\), el razonamiento sobre la concavidad sigue siendo válido. En particular, cuando \(n\) es impar, la gráfica presenta un punto de inflexión con tangente horizontal.

Este mismo procedimiento puede aplicarse al estudio de derivadas de otros órdenes, siempre que se cumplan las condiciones de diferenciabilidad necesarias.